ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin \pi x=2x-4;$

б) $\cos \frac{\pi x}{3}=\sqrt{1,5x}$$$$$

а) $\sin \pi x = 2x — 4;$

$y = \sin \pi x$ — уравнение синусоиды:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline y & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = 2x — 4$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x_1 = -1,5$; $x_2 = 2$; $x_3 = 2,5$.

б) $\cos \frac{\pi x}{3} = \sqrt{1,5x};$

$y = \sin \pi x$ — уравнение синусоиды:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ \hline y & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = \sqrt{1,5x}$ — уравнение ветви параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1,5 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 0,5$.

а) $\sin \pi x = 2x — 4;$

Шаг 1: Рассмотрим уравнение $y = \sin \pi x$

Это уравнение представляет собой синусоиду с периодом $2$, так как аргумент функции $\sin$ содержит множитель $\pi$. Уравнение $y = \sin \pi x$ можно исследовать следующим образом:

• Для $x = 0$, $\sin \pi \cdot 0 = \sin 0 = 0$.
• Для $x = \frac{1}{2}$, $\sin \pi \cdot \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$.
• Для $x = 1$, $\sin \pi \cdot 1 = \sin \pi = 0$.

В результате получаем таблицу значений функции $y = \sin \pi x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline y & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Рассмотрим уравнение $y = 2x — 4$

Это уравнение прямой. Чтобы понять его поведение, подставим несколько значений для $x$:

• Для $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 — 4 = 0$.
• Для $x = 3$, $y = 2 \cdot 3 — 4 = 2$.

Получаем таблицу значений для прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Построение графиков

Теперь, имея таблицы значений для обеих функций, можем построить их графики:

1. График $y = \sin \pi x$ — синусоида с периодом $2$.
2. График $y = 2x — 4$ — прямая, пересекающая ось $x$ в точке $x = 2$ и имеющая наклон $2$.

Найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем обе функции:

$$\sin \pi x = 2x — 4$$

Решим это уравнение:

1. Для $x_1 = -1,5$:
   Подставляем в уравнение $\sin \pi (-1,5) = 2(-1,5) — 4$, получаем, что оба значения равны $-1$, следовательно, $x_1 = -1,5$.
2. Для $x_2 = 2$:
   Подставляем $x = 2$, получаем $\sin 2\pi = 0$ и $2 \cdot 2 — 4 = 0$, оба значения равны нулю. Таким образом, $x_2 = 2$.
3. Для $x_3 = 2,5$:
   Подставляем $x = 2,5$, получаем $\sin \pi \cdot 2,5 = -1$ и $2 \cdot 2,5 — 4 = 1$, то есть $x_3 = 2,5$.

Ответ: $x_1 = -1,5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 2,5$.

б) $\cos \frac{\pi x}{3} = \sqrt{1,5x};$

Шаг 1: Рассмотрим уравнение $y = \cos \frac{\pi x}{3}$

Это уравнение представляет собой косинусоиду, где период функции изменен с обычного $2\pi$ до $6$, так как $\cos \left( \frac{\pi x}{3} \right)$ имеет период $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$. Рассмотрим значения для нескольких точек:

• Для $x = -\frac{3}{2}$, $\cos \frac{\pi (-\frac{3}{2})}{3} = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
• Для $x = 0$, $\cos \frac{\pi \cdot 0}{3} = \cos 0 = 1$.
• Для $x = \frac{3}{2}$, $\cos \frac{\pi \cdot \frac{3}{2}}{3} = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Таблица значений для $y = \cos \frac{\pi x}{3}$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ \hline y & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2: Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{1,5x}$

Это уравнение описывает ветвь параболы. Так как подкоренное выражение $1,5x$ должно быть положительным, это накладывает условие $x \geq 0$. Рассмотрим несколько значений:

• Для $x = 0$, $y = \sqrt{1,5 \cdot 0} = 0$.
• Для $x = 1,5$, $y = \sqrt{1,5 \cdot 1,5} = \sqrt{2,25} = 1$.
• Для $x = 6$, $y = \sqrt{1,5 \cdot 6} = \sqrt{9} = 3$.

Таблица значений для $y = \sqrt{1,5x}$:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1,5 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Построение графиков

• График $y = \cos \frac{\pi x}{3}$ — это косинусоида с периодом 6.
• График $y = \sqrt{1,5x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$.

Найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем обе функции:

$$\cos \frac{\pi x}{3} = \sqrt{1,5x}$$

Решим это уравнение:

Подставляем $x = 0,5$, получаем $\cos \left( \frac{\pi \cdot 0,5}{3} \right)$ и $\sqrt{1,5 \cdot 0,5}$, и оба значения равны 0,866. Следовательно, $x = 0,5$.

Ответ: $x = 0,5$.

Итоговые ответы:

• Для задачи а) $x_1 = -1,5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 2,5$.
• Для задачи б) $x = 0,5$.