ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin \frac{x}{3}$

б) $y = \cos 2x$

в) $y = \cos \frac{x}{2}$

г) $y=\sin 3x$

а) $y = \sin \frac{x}{3}$

Построим дугу графика $y = \sin x$;

Совершим ее растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$;

Достроим график функции:

б) $y = \cos 2x$

Построим дугу графика $y = \cos x$;

Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

в) $y = \cos \frac{x}{2}$

Построим дугу графика $y = \cos x$;

Совершим ее растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

г) $y = \sin 3x$

Построим дугу графика $y = \sin x$;

Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$;

Достроим график функции:

а) $y = \sin \frac{x}{3}$

1) Построение дуги графика $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ — это стандартная синусоида, которая:

• Имеет период $2\pi$.
• Проходит через начало координат $(0, 0)$.
• Имеет амплитуду 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• График $y = \sin x$ повторяется с периодичностью $2\pi$.

Для некоторых значений $x$ мы можем подсчитать:

• $\sin 0 = 0$,
• $\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$,
• $\sin(\pi) = 0$,
• $\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1$,
• $\sin(2\pi) = 0$.

Таблица значений:

График синуса будет начинаться от нуля, подниматься до 1, затем опускаться до -1 и снова возвращаться к нулю через период $2\pi$.

2) Совершим растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$

Функция $y = \sin \frac{x}{3}$ отличается от стандартного графика тем, что аргумент $x$ делится на 3. Это приводит к растяжению графика вдоль оси $x$ на коэффициент 3.

• Почему растяжение? Функция $y = \sin \frac{x}{3}$ растягивает график по оси $x$ (вдоль горизонтальной оси) на коэффициент 3, что означает, что для каждого значения $x$ график функции будет достигать того же значения $y$, но на более широких интервалах по оси $x$.
• Период функции $y = \sin \frac{x}{3}$ будет равен $2\pi \times 3 = 6\pi$, так как период синуса определяется как $2\pi$ разделённое на множитель, стоящий перед $x$ в аргументе.

Таким образом, растяжение графика функции приведёт к увеличению расстояния между пиками и впадинами синусоиды, а сам график станет более «растянутым».

3) Достроим график функции

• Период будет $6\pi$, и график будет повторяться каждый $6\pi$.
• Амплитуда остаётся равной 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• Пик функции теперь будет достигаться не в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$, а в точках $\frac{\pi}{2} \times 3 = \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \times 3 = \frac{9\pi}{2}, \dots$.

б) $y = \cos 2x$

1) Построение дуги графика $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ — это стандартная косинусоида, которая:

• Имеет период $2\pi$.
• Проходит через точку $(0, 1)$.
• Имеет амплитуду 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• График $y = \cos x$ повторяется с периодичностью $2\pi$.

Для некоторых значений $x$:

• $\cos 0 = 1$,
• $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$,
• $\cos(\pi) = -1$,
• $\cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0$,
• $\cos(2\pi) = 1$.

Таблица значений:

2) Совершим сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Функция $y = \cos 2x$ отличается от стандартной функции $y = \cos x$ тем, что в аргументе $x$ стоит множитель 2. Это означает, что график будет сжат по оси $x$.

• Почему сжатие? Если аргумент функции $x$ умножен на 2, это уменьшает период функции. Период функции $y = \cos 2x$ будет равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$, то есть график будет повторяться каждый $\pi$, в два раза быстрее, чем график функции $y = \cos x$.
• Таким образом, все значения функции будут достигаться в два раза быстрее, и расстояние между пиками и впадинами будет сокращено в два раза.

3) Достроим график функции

• Период функции $y = \cos 2x$ будет равен $\pi$.
• Амплитуда остаётся равной 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• Пики и впадины будут располагаться через расстояние $\pi$.

в) $y = \cos \frac{x}{2}$

1) Построение дуги графика $y = \cos x$

Аналогично предыдущим случаям, начнем с графика функции $y = \cos x$. Его особенности описаны выше.

2) Совершим растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Функция $y = \cos \frac{x}{2}$ отличается от стандартного графика тем, что в её аргументе присутствует множитель $\frac{1}{2}$, который растягивает график по оси $x$.

• Почему растяжение? Если аргумент функции $x$ делится на 2, это увеличивает период функции. Период функции $y = \cos \frac{x}{2}$ будет равен $2\pi \times 2 = 4\pi$, то есть график будет повторяться каждый $4\pi$, что в два раза больше периода стандартной косинусоиды $y = \cos x$.
• Таким образом, график функции $y = \cos \frac{x}{2}$ будет растянут по оси $x$, и расстояние между пиками и впадинами будет увеличено в два раза.

3) Достроим график функции

• Период функции $y = \cos \frac{x}{2}$ будет равен $4\pi$.
• Амплитуда остаётся равной 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• Пики и впадины будут располагаться через расстояние $4\pi$.

г) $y = \sin 3x$

1) Построение дуги графика $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ аналогичен тому, который мы построили в пункте а.

2) Совершим сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$

Функция $y = \sin 3x$ отличается от стандартной синусоиды тем, что в её аргументе стоит множитель 3. Это сжимает график функции вдоль оси $x$.

• Почему сжатие? Если аргумент функции $x$ умножен на 3, то график будет сжаться вдоль оси $x$, и период функции $y = \sin 3x$ станет равным $\frac{2\pi}{3}$.
• Таким образом, график функции будет повторяться быстрее, чем график стандартной синусоиды $y = \sin x$.

3) Достроим график функции

• Период функции $y = \sin 3x$ будет равен $\frac{2\pi}{3}$.
• Амплитуда остаётся равной 1, то есть максимальное значение функции $y = 1$, а минимальное — $y = -1$.
• Пики и впадины будут располагаться через расстояние $\frac{2\pi}{3}$.