ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

в) $y = -3 \sin 2x$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{3}$

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Совершим ее растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$;

Достроим график функции:

б) $y = 2,5 \cos 2x$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2,5$;

Достроим график функции:

в) $y = -3 \sin 2x$;

Построим дугу графика $y = \sin x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;
• Отразим ее относительно оси абсцисс;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$;

Достроим график функции:

г) $y = 2 \cos \frac{x}{3}$;

Построим дугу графика $y = \cos x$, а затем:

• Совершим ее растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$;
• Совершим ее растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

а) $y = 3 \sin \frac{x}{2}$

1) Построение дуги графика $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ представляет собой стандартную синусоиду с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. Стандартные характеристики:

• Период $T = 2\pi$.
• Амплитуда = 1.
• Функция проходит через $(0, 0)$, достигает максимума $( \frac{\pi}{2}, 1)$, минимума $( \frac{3\pi}{2}, -1)$, и снова возвращается к нулю в точке $(2\pi, 0)$.

Таблица значений для $y = \sin x$:

График будет выглядеть как плавная волна, начинающаяся от нуля, достигающая пика в $\frac{\pi}{2}$, затем опускающаяся до минимума в $\frac{3\pi}{2}$ и возвращающаяся к нулю.

2) Совершим растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Когда в функции аргумент умножается или делится на какое-то число, это влияет на горизонтальное растяжение или сжатие графика. В данном случае у нас $y = 3 \sin \frac{x}{2}$, где в аргументе функции $x$ присутствует множитель $\frac{1}{2}$.

Это приводит к увеличению периода синусоиды в два раза. Чтобы понять это, вспомним, что период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$, и если аргумент синуса становится $\frac{x}{2}$, то период увеличивается до $2\pi \times 2 = 4\pi$.

Таким образом, график растягивается вдоль оси $x$, и вся волна будет повторяться не через $2\pi$, а через $4\pi$.

3) Совершим растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$

Теперь, что касается вертикального растяжения: функция имеет коэффициент $3$ перед синусом. Это означает, что все значения функции $y = \sin \frac{x}{2}$ будут умножаться на 3.

• Амплитуда функции становится $3$.
• Максимальное значение $y$ будет равно 3, минимальное значение будет равно -3, и график будет колебаться между этими значениями.

Растяжение вдоль оси $Oy$ в 3 раза делает график более высокими пиками и глубокими впадинами.

4) Достроим график функции

• Период графика функции $y = 3 \sin \frac{x}{2}$ будет $4\pi$.
• Амплитуда будет 3.
• Функция будет начинаться от $(0, 0)$, достигать $(2\pi, 3)$, опускаться до $(3\pi, -3)$ и возвращаться к $(4\pi, 0)$.

График будет иметь растянутую по горизонтали форму и увеличенные пики и впадины.

б) $y = 2,5 \cos 2x$

1) Построение дуги графика $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ является стандартной косинусоидой с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. Он будет выглядеть следующим образом:

• Период $T = 2\pi$.
• Амплитуда = 1.
• График начинается с точки $(0, 1)$, опускается до $( \pi, -1)$, возвращается к нулю в $( \frac{3\pi}{2}, 0)$, и снова достигает максимума в $(2\pi, 1)$.

Таблица значений для $y = \cos x$:

2) Совершим сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

В функции $y = 2,5 \cos 2x$ присутствует множитель 2 в аргументе косинуса. Это уменьшает период функции, сжимая график по оси $x$.

• Период функции $y = \cos 2x$ будет $\frac{2\pi}{2} = \pi$, то есть график будет повторяться в два раза быстрее.
• Каждые $\pi$ будет проходить полный цикл: от максимума до минимума и обратно.

3) Совершим растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2,5$

Множитель 2,5 перед косинусом означает, что амплитуда функции увеличится в 2,5 раза. То есть:

• Амплитуда графика станет 2,5.
• График функции будет колебаться между значениями $y = 2,5$ и $y = -2,5$.

4) Достроим график функции

• Период будет равен $\pi$.
• Амплитуда будет 2,5.
• График будет колебаться между значениями $y = 2,5$ и $y = -2,5$.

в) $y = -3 \sin 2x$

1) Построение дуги графика $y = \sin x$

График функции $y = \sin x$ аналогичен тому, который мы построили в пункте а.

2) Совершим сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Функция $y = -3 \sin 2x$ включает множитель 2 в аргументе синуса, что сжимает график по оси $x$ и делает период функции равным $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

3) Отражаем график относительно оси абсцисс

Множитель $-3$ перед синусом означает, что весь график будет отражен относительно оси $x$. Функция будет колебаться между значениями $y = 3$ и $y = -3$, но при этом график будет инвертирован по вертикали, то есть пики и впадины поменяются местами.

4) Совершим растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$

Растяжение по оси $y$ с коэффициентом 3 означает, что амплитуда будет равна 3.

5) Достроим график функции

• Период функции будет равен $\pi$.
• Амплитуда будет 3.
• График будет колебаться между $y = 3$ и $y = -3$, но будет инвертирован по вертикали.

г) $y = 2 \cos \frac{x}{3}$

1) Построение дуги графика $y = \cos x$

График функции $y = \cos x$ также строится как стандартная косинусоида, как в предыдущих примерах.

2) Совершим растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$

В функции $y = 2 \cos \frac{x}{3}$, множитель $2$ перед косинусом означает, что амплитуда будет равна 2. Таким образом, график будет колебаться между $y = 2$ и $y = -2$.

3) Совершим растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Деление аргумента на 3 растягивает график по оси $x$. Период функции будет $6\pi$, так как новый период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ будет равен $6\pi$, что в 3 раза больше стандартного периода $2\pi$.

4) Достроим график функции

• Период будет $6\pi$.
• Амплитуда будет 2.
• График будет колебаться между значениями $y = 2$ и $y = -2$ и повторяться через $6\pi$.