ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$:

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$:

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$:

г) На полуинтервале $(0; \pi]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin 2x$:

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{4}; 0 \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{2} \right) = \sin(-\pi) = -\sin \pi = 0;$$ $$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 0$.

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right)$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right)$ и убывает на $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{2\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{2} \right) = \sin \pi = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$:

Рассмотрим функцию $y = \sin x$:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$;

Значит данная функция:

• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$;

Значения функции:

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{2\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $(0; \pi]$:

Полный период функции: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$;

Длина промежутка: $l = \pi — 0 = \pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

а) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$:

1) Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ имеет следующие ключевые характеристики:

• Период функции $y = \sin x$: $T = 2\pi$.
• Амплитуда функции $y = \sin x$: амплитуда равна 1.
• Функция возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ (от $y = -1$ до $y = 1$).
• Функция убывает на интервале $\left[ -\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ (от $y = 1$ до $y = -1$).

2) Для функции $y = \sin 2x$:

Теперь, для функции $y = \sin 2x$, важно учитывать, что множитель 2 в аргументе синуса изменяет период. Период функции $y = \sin 2x$ будет равен:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi.$$

Это означает, что график функции $y = \sin 2x$ будет повторяться каждые $\pi$ единиц на оси $x$. Таким образом, за интервал $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ график пройдет половину периода синусоиды.

• Функция возрастает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; 0 \right]$, что связано с тем, что синус возрастает на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, а множитель 2 растягивает график по горизонтали.
• Функция убывает на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4} \right]$, так как синус убывает на интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

3) Значения функции $y = \sin 2x$:

Для нахождения наименьших и наибольших значений функции на данном отрезке нужно вычислить значения функции в крайних точках и в точке, где функция меняет свой знак (максимум или минимум).

• $y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( 2 \times -\frac{\pi}{2} \right) = \sin(-\pi) = 0$,
• $y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \times -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$,
• $y(0) = \sin(2 \times 0) = \sin(0) = 0$.

Ответ:

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -1$.

Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 0$.

б) На интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$:

1) Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$ ведет себя следующим образом:

• Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right)$, а затем убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$.

2) Для функции $y = \sin 2x$:

• Период функции $y = \sin 2x$ равен $\pi$.
• Для интервала $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$ функция проходит часть цикла синусоиды.
• Функция возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right)$ (так как $\sin x$ возрастает).
• Функция убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right)$ (так как $\sin x$ убывает).

3) Значения функции $y = \sin 2x$:

Теперь найдем значения функции в ключевых точках интервала.

• $y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \times -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$,
• $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \times \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$,
• $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) = \sin(\pi) = 0$.

Ответ:

Наименьшее значение функции: нет (так как значение функции на данном интервале не достигает наименьшего значения).

Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$:

1) Рассмотрим функцию $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ на интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ ведет себя следующим образом:

• Функция $y = \sin x$ возрастает на данном интервале.

2) Для функции $y = \sin 2x$:

• Период функции $y = \sin 2x$ равен $\pi$.
• График функции $y = \sin 2x$ на интервале $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ будет возрастать от минимального значения $-1$ до максимального значения $1$, поскольку на этом интервале синус увеличивается.

3) Значения функции $y = \sin 2x$:

Теперь найдем значения функции в крайних точках интервала.

• $y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \times -\frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$,
• $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( 2 \times \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$.

Ответ:

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -1$.

Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $(0; \pi]$:

1) Период функции

Для функции $y = \sin 2x$ период будет равен:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi.$$

2) Длина промежутка

Длина промежутка $l = \pi — 0 = \pi$, что как раз соответствует одному полному периоду функции $y = \sin 2x$.

3) В промежуток входит полный период функции

• Поскольку период функции равен $\pi$, то на интервале $(0; \pi]$ график функции пройдет один полный цикл, и значения функции будут варьироваться между $-1$ и $1$.

Ответ:

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -1$.

Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 1$.