ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$

а) На луче $[0; +\infty)$;

б) На открытом луче $(-∞; π)$;

в) На луче $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right]$;

г) На открытом луче $(\frac{\pi }{3};+\mathrm{\infty })$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$

а) На луче $[0; +\infty)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На открытом луче $(-∞; π)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right]$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На открытом луче $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

а) На луче $[0; +\infty)$:

1) Период функции

Для начала определим период функции $y = \cos \frac{x}{3}$.

• Обычная косинусоида $y = \cos x$ имеет период $2\pi$, то есть она повторяется через $2\pi$.
• В функции $y = \cos \frac{x}{3}$ аргумент делится на 3, что влияет на период. Новый период будет равен:

$$T = 2\pi \times 3 = 6\pi.$$

Это означает, что график функции будет повторяться каждые $6\pi$ единиц по оси $x$.

2) В промежуток входит полный период функции

Поскольку $y = \cos \frac{x}{3}$ — это обычная косинусоидальная функция, то её значение будет колебаться в пределах $-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1$ для всех значений $x$.

• Наименьшее значение функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равно $-1$, так как косинус достигает минимального значения в точках, где его аргумент равен $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$.
• Наибольшее значение функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равно $1$, так как косинус достигает максимума в точках, где его аргумент равен $0, 2\pi, 4\pi, \dots$.

Ответ:

Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$; наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На открытом луче $(-∞; \pi)$:

1) Период функции

Как и в предыдущем случае, период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равен $6\pi$.

2) В промежуток входит полный период функции

Интервал $(-\infty; \pi)$ охватывает часть функции $y = \cos \frac{x}{3}$, причем на этом интервале будет находиться не полный период, но его часть.

• Так как период функции равен $6\pi$, на интервале $(-\infty; \pi)$ будет входить часть цикла, то есть фрагмент, где функция принимает все значения между -1 и 1.

3) Наименьшее и наибольшее значения

Как и в случае с полным периодом, значения функции будут колебаться между $-1$ и $1$.

• Наименьшее значение будет $-1$, так как функция будет принимать минимальное значение на некоторых точках в интервале.
• Наибольшее значение будет $1$, так как функция также будет принимать максимальное значение в пределах интервала.

Ответ:

Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$; наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right]$:

1) Период функции

Как и в предыдущих случаях, период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ составляет $6\pi$.

2) В промежуток входит полный период функции

На интервале $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right]$ будет охватываться часть функции, которая включает одну полную волну функции, начиная с $-1$ и до $1$, так как косинус проходит весь цикл на интервале $6\pi$.

3) Наименьшее и наибольшее значения

• Наименьшее значение функции будет $-1$, так как косинус достигает минимального значения на некоторых точках интервала.
• Наибольшее значение будет $1$, так как косинус будет достигать максимума на некоторых точках интервала.

Ответ:

Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$; наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На открытом луче $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$:

1) Период функции

Период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равен $6\pi$, как в предыдущих примерах.

2) В промежуток входит полный период функции

На интервале $\left( \frac{\pi}{3}; +\infty \right)$ будет охвачена часть функции, и на этом интервале будут входить все возможные значения косинуса от -1 до 1, так как функция продолжает повторяться каждые $6\pi$ единиц по оси $x$.

3) Наименьшее и наибольшее значения

• Наименьшее значение будет $-1$, так как косинус достигает минимального значения в разных точках.
• Наибольшее значение будет $1$, так как косинус также будет принимать максимальное значение.

Ответ:

Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$; наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$.