ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел:

а) 120 и 144;

б) 255, 510 и 153;

в) 132 и 242;

г) 156, 195 и 390.

Найти наименьшее общее кратное чисел:

а) 120 и 144;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 720;$$

б) 255, 510 и 153;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 255 & 3 \\ 85 & 5 \\ 17 & 17 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 510 & 2 \\ 255 & 3 \\ 85 & 5 \\ 17 & 17 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 153 & 3 \\ 51 & 3 \\ 17 & 17 \\ 1 & 1 \end{array}$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 = 1530;$$

в) 96 и 144;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 96 & 2 \\ 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 288;$$

г) 39, 65 и 156;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|c} 156 & 2 \\ 78 & 2 \\ 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \end{array}$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 780;$$

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел используем метод разложения чисел на простые множители. Затем мы выбираем наибольшие степени всех простых чисел, которые встречаются в разложении данных чисел, и перемножаем их. Давайте рассмотрим каждый из примеров и подробно разберем, как найти НОК.

а) 120 и 144

Шаг 1: Разложим 120 и 144 на простые множители

Разложение числа 120 на простые множители:

Начнем делить число 120 на простые числа:

• $120 \div 2 = 60$ (делим на 2),
• $60 \div 2 = 30$ (делим на 2),
• $30 \div 2 = 15$ (делим на 2),
• $15 \div 3 = 5$ (делим на 3),
• $5 \div 5 = 1$ (делим на 5).

Таким образом, разложение числа 120:

$$120 = 2^3 \times 3 \times 5$$

Разложение числа 144 на простые множители:

Начнем делить число 144 на простые числа:

• $144 \div 2 = 72$,
• $72 \div 2 = 36$,
• $36 \div 2 = 18$,
• $18 \div 2 = 9$,
• $9 \div 3 = 3$,
• $3 \div 3 = 1$.

Таким образом, разложение числа 144:

$$144 = 2^4 \times 3^2$$

Шаг 2: Выбираем наибольшие степени простых множителей

Теперь, чтобы найти НОК, нужно выбрать наибольшие степени всех простых чисел, которые встречаются в разложении чисел 120 и 144:

• Для простого числа 2: наибольшая степень $2^4$ (из разложения 144),
• Для простого числа 3: наибольшая степень $3^1$ (из разложения 120),
• Для простого числа 5: наибольшая степень $5^1$ (из разложения 120).

Шаг 3: Перемножаем наибольшие степени простых множителей

Теперь перемножаем эти наибольшие степени простых чисел:

$$\text{НОК}(120, 144) = 2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 720$$

Ответ для пункта (а):

$$\text{НОК}(120, 144) = 720$$

б) 255, 510 и 153

Шаг 1: Разложим 255, 510 и 153 на простые множители

Разложение числа 255 на простые множители:

Начнем делить число 255 на простые числа:

• $255 \div 3 = 85$,
• $85 \div 5 = 17$,
• $17 \div 17 = 1$.

Таким образом, разложение числа 255:

$$255 = 3 \times 5 \times 17$$

Разложение числа 510 на простые множители:

Начнем делить число 510 на простые числа:

• $510 \div 2 = 255$,
• $255 \div 3 = 85$,
• $85 \div 5 = 17$,
• $17 \div 17 = 1$.

Таким образом, разложение числа 510:

$$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$$

Разложение числа 153 на простые множители:

Начнем делить число 153 на простые числа:

• $153 \div 3 = 51$,
• $51 \div 3 = 17$,
• $17 \div 17 = 1$.

Таким образом, разложение числа 153:

$$153 = 3^2 \times 17$$

Шаг 2: Выбираем наибольшие степени простых множителей

Теперь, чтобы найти НОК, выбираем наибольшие степени всех простых чисел, которые встречаются в разложении чисел 255, 510 и 153:

• Для простого числа 2: наибольшая степень $2^1$ (из разложения 510),
• Для простого числа 3: наибольшая степень $3^2$ (из разложения 153),
• Для простого числа 5: наибольшая степень $5^1$ (из разложения 255 и 510),
• Для простого числа 17: наибольшая степень $17^1$ (из разложения всех чисел).

Шаг 3: Перемножаем наибольшие степени простых множителей

Перемножаем наибольшие степени простых чисел:

$$\text{НОК}(255, 510, 153) = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 17^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 17 = 1530$$

Ответ для пункта (б):

$$\text{НОК}(255, 510, 153) = 1530$$

в) 96 и 144

Шаг 1: Разложим 96 и 144 на простые множители

Разложение числа 96 на простые множители:

Начнем делить число 96 на простые числа:

• $96 \div 2 = 48$,
• $48 \div 2 = 24$,
• $24 \div 2 = 12$,
• $12 \div 2 = 6$,
• $6 \div 2 = 3$,
• $3 \div 3 = 1$.

Таким образом, разложение числа 96:

$$96 = 2^5 \times 3$$

Разложение числа 144 на простые множители:

Как мы уже разбирали:

$$144 = 2^4 \times 3^2$$

Шаг 2: Выбираем наибольшие степени простых множителей

Теперь, чтобы найти НОК, выбираем наибольшие степени всех простых чисел:

• Для простого числа 2: наибольшая степень $2^5$ (из разложения 96),
• Для простого числа 3: наибольшая степень $3^2$ (из разложения 144).

Шаг 3: Перемножаем наибольшие степени простых множителей

Перемножаем наибольшие степени простых чисел:

$$\text{НОК}(96, 144) = 2^5 \times 3^2 = 32 \times 9 = 288$$

Ответ для пункта (в):

$$\text{НОК}(96, 144) = 288$$

г) 39, 65 и 156

Шаг 1: Разложим 39, 65 и 156 на простые множители

Разложение числа 39 на простые множители:

Начнем делить число 39 на простые числа:

• $39 \div 3 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 39:

$$39 = 3 \times 13$$

Разложение числа 65 на простые множители:

Начнем делить число 65 на простые числа:

• $65 \div 5 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 65:

$$65 = 5 \times 13$$

Разложение числа 156 на простые множители:

Начнем делить число 156 на простые числа:

• $156 \div 2 = 78$,
• $78 \div 2 = 39$,
• $39 \div 3 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 156:

$$156 = 2^2 \times 3 \times 13$$

Шаг 2: Выбираем наибольшие степени простых множителей

Теперь, чтобы найти НОК, выбираем наибольшие степени всех простых чисел:

• Для простого числа 2: наибольшая степень $2^2$ (из разложения 156),
• Для простого числа 3: наибольшая степень $3^1$ (из разложения 39 и 156),
• Для простого числа 5: наибольшая степень $5^1$ (из разложения 65),
• Для простого числа 13: наибольшая степень $13^1$ (из разложения всех чисел).

Шаг 3: Перемножаем наибольшие степени простых множителей

Перемножаем наибольшие степени простых чисел:

$$\text{НОК}(39, 65, 156) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13 = 4 \times 3 \times 5 \times 13 = 780$$

Ответ для пункта (г):

$$\text{НОК}(39, 65, 156) = 780$$

Итоговые ответы:

• а) $\text{НОК}(120, 144) = 720$
• б) $\text{НОК}(255, 510, 153) = 1530$
• в) $\text{НОК}(96, 144) = 288$
• г) $\text{НОК}(39, 65, 156) = 780$