ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y=-1,5\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$ на монотонность на заданном промежутке:$$

а) $[0; 2\pi]$;

б) $(2; 4)$;

в) $\left[ -\frac{4\pi}{3}; 0 \right]$;

г) $(-1; 2)$

Исследовать функцию на монотонность на заданном промежутке:

$y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$

Рассмотрим функцию $y = -\sin x$:

• Возрастает на $\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right]$;
• Убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$;

Данная функция возрастает на:
$2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right); 2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \left[ \frac{3\pi}{2} + 4\pi n; \frac{7\pi}{2} + 4\pi n \right];$

Данная функция убывает на:
$2 \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right); 2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \left[ -\frac{\pi}{2} + 4\pi n; \frac{3\pi}{2} + 4\pi n \right];$

а) $[0; 2\pi]$;
Ответ: возрастает на $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$ и убывает на $\left[ 0; \frac{3\pi}{2} \right]$;

б) $(2; 4)$;
$-\frac{\pi}{2} < 2 < 4 < \frac{3\pi}{2};$
Ответ: убывает на $(2; 4)$;

в) $\left[ -\frac{4\pi}{3}; 0 \right]$;
Ответ: возрастает на $\left[ -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$.

г) $(-1; 2)$;
$-\frac{\pi}{2} < -1 < 2 \leqslant \frac{3\pi}{2};$
Ответ: убывает на $(-1; 2)$.

Давайте подробно исследуем функцию $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ на монотонность, используя детальный шаг за шагом анализ.

Шаг 1. Рассмотрим исходную функцию.

Функция:

$$y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Данная функция является трансформированным синусом, где коэффициент перед синусом влияет на амплитуду, а выражение внутри синуса — на его сдвиг.

Шаг 2. Преобразование функции для простоты анализа.

Для анализа монотонности важно понять поведение функции. Мы начнем с анализа производной этой функции.

Находим производную.

Исходная функция:

$$y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Применяем правило дифференцирования для синуса $\frac{d}{dx} \sin (u(x)) = \cos (u(x)) \cdot u'(x)$. В нашем случае $u(x) = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}$.

Итак, производная функции будет:

$$y’ = -1,5 \cdot \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{1}{2}$$

Преобразуем:

$$y’ = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 3. Исследуем знаки производной.

Для анализа монотонности необходимо исследовать знак производной:

• Если $y’ > 0$, функция возрастает.
• Если $y’ < 0$, функция убывает.

Так как производная $y’ = -\frac{3}{2} \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$, знак производной будет зависеть от знака косинуса.

Рассмотрим косинус:

• Косинус $\cos \theta$ положителен, когда $\theta \in \left( 2k\pi, (2k+1)\pi \right)$, и отрицателен, когда $\theta \in \left( (2k+1)\pi, (2k+2)\pi \right)$, где $k$ — целое число.

Поскольку в нашей производной присутствует множитель $-\frac{3}{2}$, функция будет возрастать на интервалах, где косинус отрицателен, и убывать на интервалах, где косинус положителен. Таким образом:

• Функция возрастает на интервалах, где $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) < 0$.
• Функция убывает на интервалах, где $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) > 0$.

Шаг 4. Разделим интервал для анализа монотонности.

Чтобы найти, на каких интервалах функция возрастает или убывает, найдем, когда косинус меняет знак.

Установим, при каком значении $x$ косинус $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ равен нулю:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Решаем относительно $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + k\pi$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

Таким образом, косинус меняет знак на $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

Теперь найдем интервалы, на которых функция возрастает и убывает, используя знаки косинуса.

Интервалы монотонности:

Возрастает на интервалах, где $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) < 0$, т.е. на интервалах:

$$\left[ \frac{3\pi}{2} + 4k\pi, \frac{7\pi}{2} + 4k\pi \right]$$

Убывает на интервалах, где $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) > 0$, т.е. на интервалах:

$$\left[ -\frac{\pi}{2} + 4k\pi, \frac{3\pi}{2} + 4k\pi \right]$$

Шаг 5. Проверим монотонность на конкретных промежутках.

Теперь, зная интервалы монотонности, проверим, на каком интервале функция возрастает или убывает для заданных промежутков:

а) Промежуток $[0; 2\pi]$:

Для $x \in [0; 2\pi]$, определяем, на каком интервале функция возрастает, а на каком убывает:

• Интервал $[0, 2\pi]$ пересекается с интервалами монотонности:
• Функция возрастает на интервале $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$,
• Функция убывает на интервале $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$ и убывает на $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

б) Промежуток $(2; 4)$:

Для интервала $(2; 4)$, находим, где косинус меняет знак:

• $\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ положителен на интервале $[2; 4]$, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Ответ: убывает на $(2; 4)$.

в) Промежуток $\left[ -\frac{4\pi}{3}; 0 \right]$:

Для интервала $\left[ -\frac{4\pi}{3}; 0 \right]$, проверим, на каких интервалах возрастает и убывает функция:

• Функция возрастает на $\left[ -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2} \right]$,
• Функция убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$.

Ответ: возрастает на $\left[ -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$.

г) Промежуток $(-1; 2)$:

Для интервала $(-1; 2)$:

• Мы видим, что на данном интервале косинус положителен, поэтому функция убывает.

Ответ: убывает на $(-1; 2)$.

Итоговое решение:

• Функция возрастает на $\left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$ и убывает на $[0; \frac{3\pi}{2}]$ на интервале $[0; 2\pi]$.
• Функция убывает на интервале $(2; 4)$.
• Функция возрастает на $\left[ -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right]$ на интервале $\left[ -\frac{4\pi}{3}; 0 \right]$.
• Функция убывает на $(-1; 2)$.