ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию $y=3\cos (2x+\frac{2\pi }{3})$на монотонность на заданном промежутке:

а) $\left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$;

б) $(1; 2)$;

в) $\left[ -\frac{7\pi}{12}; 0 \right]$;

г) $(-1; 1)$

Исследовать функцию на монотонность на заданном промежутке:

$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right);$

Рассмотрим функцию $y = \cos x$:

• Возрастает на $[- \pi + 2\pi n; 2\pi n]$;
• Убывает на $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$;

Данная функция возрастает на:
$\left[ \frac{1}{2} \left( -\pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right); \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \right] = \left[ -\frac{5\pi}{6} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n \right];$

Данная функция убывает на:
$\left[ \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right); \frac{1}{2} \left( \pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \right] = \left[ -\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n \right];$

а) $\left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$;

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left[ 0; \frac{\pi}{6} \right]$;

б) $(1; 2)$;

$$\frac{\pi}{6} < 1 < 2 < \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: возрастает на $(1; 2)$;

в) $\left[ -\frac{7\pi}{12}; 0 \right]$;

Ответ: возрастает на $\left[ -\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3} \right]$ и убывает на $\left[ -\frac{\pi}{3}; 0 \right]$.

г) $(-1; 1)$;

$$-\frac{\pi}{3} < -1 < \frac{\pi}{6} < 1 < \frac{2\pi}{3};$$

Ответ: возрастает на $\left[ \frac{\pi}{6}; 1 \right]$ и убывает на $\left( -1; \frac{\pi}{6} \right]$.

Исследуем функцию на монотонность на заданном промежутке:

$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right);$

Нам нужно исследовать эту функцию на монотонность и определить промежутки возрастания и убывания.

Шаг 1. Анализ исходной функции

Рассмотрим функцию $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$. Мы видим, что эта функция является косинусоидой с определенными модификациями:

• Коэффициент 3 — амплитуда функции.
• $2x + \frac{2\pi}{3}$ — это сдвиг и растяжение функции косинуса.

Функция косинуса $y = \cos(x)$ имеет период $2\pi$, а с учетом множителя 2 перед $x$, период функции $3 \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$ будет уменьшен в два раза. То есть период этой функции равен $\pi$.

Теперь нам нужно найти промежутки монотонности для данной функции. Для этого нужно найти её производную и исследовать знак производной.

Шаг 2. Находим производную функции

Найдем производную функции $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

Используем правило дифференцирования сложной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) \right) = -\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) \cdot \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) = -\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) \cdot 2.$$

Таким образом, производная функции $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$:

$$y’ = 3 \cdot (-2 \sin(2x + \frac{2\pi}{3})) = -6 \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right).$$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Для того чтобы исследовать монотонность функции, нужно найти, на каких промежутках её производная положительна (функция возрастает) и на каких промежутках её производная отрицательна (функция убывает).

Знак производной зависит от выражения $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

1. $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) > 0$, тогда $y’ < 0$, функция убывает.
2. $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) < 0$, тогда $y’ > 0$, функция возрастает.

Таким образом, для нахождения промежутков монотонности нужно решить неравенство для $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

Шаг 4. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Для того чтобы понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает, найдем, где $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) = 0$. Это происходит, когда:

$$2x + \frac{2\pi}{3} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Решаем это уравнение относительно $x$:

$$2x = k\pi — \frac{2\pi}{3},$$ $$x = \frac{k\pi}{2} — \frac{\pi}{3}.$$

Значит, функция меняет свой знак в точках:

$$x = \frac{k\pi}{2} — \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Эти точки будут разделять промежутки, на которых функция будет возрастать или убывать. Теперь нужно определить на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает, исходя из знака производной.

Шаг 5. Исследуем монотонность на интервалах

Теперь рассмотрим, на каких интервалах $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) > 0$, а на каких $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) < 0$.

1. Для $x \in \left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$, функция возрастает.
2. Для $x \in \left[ -\frac{\pi}{3}; -\frac{\pi}{6} \right]$, функция убывает.

Промежутки возрастания и убывания продолжаются периодически с периодом $\pi$, поскольку период косинуса был $\pi$.

Шаг 6. Ответы на подзадачи

а) $\left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$

Возрастание функции на промежутке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right]$.

Убывание функции на промежутке $\left[ 0; \frac{\pi}{6} \right]$.

б) $(1; 2)$

В данном интервале функция возрастает на всем промежутке $(1; 2)$, так как $1 < \frac{2\pi}{3}$ и $2 < \frac{2\pi}{3}$.

в) $\left[ -\frac{7\pi}{12}; 0 \right]$

Возрастание функции на промежутке $\left[ -\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3} \right]$.

Убывание функции на промежутке $\left[ -\frac{\pi}{3}; 0 \right]$.

г) $(-1; 1)$

Функция возрастает на промежутке $\left[ \frac{\pi}{6}; 1 \right]$.

Функция убывает на промежутке $\left( -1; \frac{\pi}{6} \right]$.