ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$:

а) Возрастает на $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$

б) Убывает на $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$

При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$:

а) Возрастает на $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$;

Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Значит данная функция возрастает на отрезке:

$$2 \left( -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right);$$ $$2 \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

Значения параметра $a$:

$$a — \frac{2\pi}{3} \geq -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \geq -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$ $$a + \frac{2\pi}{3} \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \leq 4\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq a \leq 4\pi n.$$

б) Убывает на $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$;

Функция $y = \sin x$ убывает на отрезке:

$$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2};$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Значит данная функция убывает на отрезке:

$$2 \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right);$$ $$2 \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{8\pi}{6} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n;$$

Значения параметра $a$:

$$a \geq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$ $$a + \frac{\pi}{2} \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{13\pi}{6} + 4\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq a \leq \frac{13\pi}{6} + 4\pi n.$$

Нужно найти значения параметра $a$, при которых функция $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$ возрастает на интервале $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$ и убывает на интервале $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$.

а) Возрастание функции на интервале $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$

1.1. Свойства функции $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$

Мы рассматриваем функцию $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$. Для того чтобы понять, на каких интервалах эта функция возрастает, нужно сначала понять, когда возрастает синус. Функция $\sin x$ возрастает на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Она также возрастает на всех интервалах вида $\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right]$, где $n$ — целое число, поскольку синус имеет период $2\pi$.

1.2. Применение преобразования аргумента

В данном случае наш аргумент синуса $x$ изменен, и вместо $x$ у нас $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$. Таким образом, наша функция имеет сдвиг и изменение масштаба. Чтобы найти интервалы возрастания для этой функции, нужно решить неравенства для возрастания синуса с этим измененным аргументом.

Для $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$ функция будет возрастать на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Решим это неравенство относительно $x$.

Умножим обе части на 2:

$$2 \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x + \frac{\pi}{3} \leq 2 \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right),$$ $$— \pi + 4\pi n \leq x + \frac{\pi}{3} \leq \pi + 4\pi n.$$

Теперь вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$$— \pi — \frac{\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \pi — \frac{\pi}{3} + 4\pi n.$$ $$— \frac{4\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

Это и есть интервал возрастания функции:

$$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

1.3. Подставим границы интервала $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$

Теперь нам нужно, чтобы данный интервал возрастания функции совпал с интервалом $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$.

Левая граница:

$$a — \frac{2\pi}{3} \geq -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \geq -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

Правая граница:

$$a + \frac{2\pi}{3} \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \leq 4\pi n.$$

Таким образом, для возрастания функции на интервале $\left( a — \frac{2\pi}{3}; \, a + \frac{2\pi}{3} \right)$ значение параметра $a$ должно удовлетворять неравенству:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq a \leq 4\pi n.$$

Ответ для части а):

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq a \leq 4\pi n.$$

б) Убывание функции на интервале $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$

2.1. Свойства функции $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$

Функция $\sin x$ убывает на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$, а также на всех интервалах вида:

$$\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right].$$

Чтобы найти интервал убывания для функции $y = 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)$, опять решим неравенства для убывания синуса с измененным аргументом.

2.2. Применение преобразования аргумента

Функция убывает на интервале:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Решим это неравенство относительно $x$.

Умножим обе части на 2:

$$2 \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x + \frac{\pi}{3} \leq 2 \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right),$$ $$\pi + 4\pi n \leq x + \frac{\pi}{3} \leq 3\pi + 4\pi n.$$

Вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$$\pi + 4\pi n — \frac{\pi}{3} \leq x \leq 3\pi + 4\pi n — \frac{\pi}{3},$$ $$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n.$$

Это и есть интервал убывания функции:

$$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n.$$

2.3. Подставим границы интервала $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$

Левая граница:

$$a \geq \frac{2\pi}{3} + 4\pi n.$$

Правая граница:

$$a + \frac{\pi}{2} \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{13\pi}{6} + 4\pi n.$$

Таким образом, для убывания функции на интервале $\left[ a; \, a + \frac{\pi}{2} \right]$ значение параметра $a$ должно удовлетворять неравенству:

$$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq a \leq \frac{13\pi}{6} + 4\pi n.$$

Ответ для части б):

$$\frac{2\pi }{3}+4\pi n\le a\le \frac{13\pi }{6}+4\pi n\mathrm{.}$$