ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ функция $y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$:

а) Возрастает на $(a; 2a)$;

б) Убывает на $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$

При каких значениях параметра $a$ функция $y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$:

а) Возрастает на $(a; 2a)$;

Функция $y = -\cos x$ возрастает на отрезке:

$$0 \leq x \leq \pi;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$

Значит данная функция возрастает на отрезке:

$$\frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{3} \left( \pi + \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3};$$

Значения параметра $a$:

$$a \geq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$ $$2a \leq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3} \quad \Rightarrow \quad a \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3};$$ $$0 < 2a — a \leq \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad 0 < a \leq \frac{\pi}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} \leq a \leq \frac{\pi}{4}}$$

б) Убывает на $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$;

Функция $y = -\cos x$ убывает на отрезке:

$$-\pi \leq x \leq 0;$$ $$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;$$

Значит данная функция убывает на отрезке:

$$\frac{1}{3} \left( -\pi + \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{3} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Значения параметра $a$:

$$a \geq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$ $$a + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \quad \Rightarrow \quad a \leq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

Функция имеет вид:

$$y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$$

Нужно найти значения параметра $a$, при которых функция возрастает на интервале $(a; 2a)$ и убывает на интервале $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$.

Часть а) Возрастание функции на интервале $(a; 2a)$

Для начала нужно проанализировать поведение функции на заданных интервалах.

Приведение функции к более простому виду:

Изначальная функция:

$$y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$$

Поскольку косинус сдвинут на $\frac{\pi}{2}$, можно использовать известное тригонометрическое тождество для сдвига:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin(x)$$

Таким образом, функция упрощается:

$$y = -3 \sin(3x)$$

Теперь мы работаем с функцией вида:

$$y = -3 \sin(3x)$$

Исследуем поведение функции $y = -3 \sin(3x)$:

Функция $y = -3 \sin(3x)$ является синусоидальной функцией с частотой $3$. Для нахождения интервалов возрастания и убывания, важно знать основные моменты на одной волне синуса:

• Синус возрастает на интервале от $0$ до $\pi$,
• Синус убывает на интервале от $\pi$ до $2\pi$.

Для функции $y = -3 \sin(3x)$ это поведение будет модифицировано коэффициентами $-3$ и $3$ внутри синуса, что изменяет амплитуду и частоту.

Нахождение интервалов возрастания:

Учитывая периодичность функции и то, что синус имеет период $2\pi$, мы можем найти интервалы возрастания, на которых производная функции положительна.

Производная функции $y = -3 \sin(3x)$:

$$y’ = -3 \cdot 3 \cos(3x) = -9 \cos(3x)$$

Функция возрастает, когда производная положительна, то есть:

$$-9 \cos(3x) > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(3x) < 0$$

Косинус отрицателен на интервалах $\left( \pi, 2\pi \right)$, $\left( 3\pi, 4\pi \right)$ и т. д. То есть на отрезках вида:

$$\pi n < 3x < \pi (n+1) \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi (n+1)}{3}$$

Конкретные интервалы возрастания для функции $y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$:

Мы видим, что для каждого периода $2\pi$ функция возрастает на интервалах:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

То есть функция возрастает на интервале:

$$\left[ \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3} \right]$$

Нахождение значений параметра $a$:

Теперь, зная интервалы возрастания функции, можно установить границы для значения параметра $a$, чтобы функция возрастала на интервале $(a; 2a)$.

• Параметр $a$ должен быть больше или равен:

  $$a \geq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

• Также $2a$ не может превышать верхнюю границу интервала:

  $$2a \leq \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

  Отсюда получаем:

  $$a \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Итоговое решение для части а):

Параметр $a$ должен удовлетворять следующим условиям:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \leq a \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} \leq a \leq \frac{\pi}{4}}$$

Часть б) Убывание функции на интервале $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$

Теперь рассмотрим, когда функция $y = -3 \cos \left( 3x — \frac{\pi}{2} \right)$ убывает на интервале $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$.

Нахождение интервала убывания:

Аналогично предыдущему, функция $y = -3 \sin(3x)$ убывает, когда $\cos(3x)$ положителен. То есть, нам нужно решить:

$$-9 \cos(3x) < 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(3x) > 0$$

Косинус положителен на интервалах $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$ и т. д. Таким образом, функция убывает на отрезках вида:

$$2\pi n < 3x < \pi (n+1) \quad \Rightarrow \quad \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi (n+1)}{3}$$

Нахождение значений параметра $a$:

В этом случае для убывания функции на интервале $\left[ a; a + \frac{\pi}{3} \right]$, $a$ должно быть больше или равно:

$$a \geq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Также $a + \frac{\pi}{3}$ должно быть меньше или равно верхней границе интервала:

$$a + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Отсюда получаем:

$$a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Итоговое решение для части б):

Параметр $a$ должен быть равен:

$$\boxed{a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

Ответы:

а) $\boxed{\frac{\pi}{6} \leq a \leq \frac{\pi}{4}}$

б) $\boxed{a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$