ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$;

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$;

Нули функции:

$$\sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = 0;$$ $$3x — \frac{3\pi}{4} = \pi n;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi n}{3};$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3};$$ $$x_0 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \cdot 0 = \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12};$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{12};$$ $$y = 2 \sin \left( \frac{15\pi}{12} — \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2;$$

График функции:

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$;

Нули функции:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_0 = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12};$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12};$$

Середина дуги:

$$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{6};$$ $$y = -3 \cos \left( -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = -3 \cos 0 = -3;$$

График функции:

а) $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$;

1) Нули функции

Для нахождения нулей функции, приравняем $y$ к нулю:

$$2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = 0$$

Так как множитель $2$ не равен нулю, уравнение будет равно нулю, когда:

$$\sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = 0$$

Синус равен нулю, когда его аргумент равен целому числу $\pi$, то есть:

$$3x — \frac{3\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, нули функции будут равны:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь найдем два ближайших значения для $n = 0$ и $n = 1$:

• Для $n = 0$:

  $$x_0 = \frac{\pi}{4}$$

• Для $n = 1$:

  $$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$

Таким образом, два ближайших нуля функции:

$$x_0 = \frac{\pi}{4}, \quad x_1 = \frac{7\pi}{12}$$

2) Середина дуги

Середина дуги — это точка, в которой функция достигает максимума или минимума. В данной функции амплитуда равна $2$. Для нахождения середины дуги найдем значение $x$, которое лежит между ближайшими нулями, и вычислим значение функции в этой точке.

Найдем середину между ближайшими нулями $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и $x_1 = \frac{7\pi}{12}$:

$$x = \frac{1}{2} \left( x_0 + x_1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} \right)$$

Приводим к общему знаменателю:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$$

Теперь подставим это значение в исходную функцию:

$$y = 2 \sin \left( 3 \cdot \frac{5\pi}{12} — \frac{3\pi}{4} \right)$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$y = 2 \sin \left( \frac{15\pi}{12} — \frac{9\pi}{12} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2}$$

Значение $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, поэтому:

$$y = 2 \cdot 1 = 2$$

Таким образом, в середине дуги, когда $x = \frac{5\pi}{12}$, функция принимает значение $y = 2$.

3) График функции

График функции $y = 2 \sin \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right)$ представляет собой синусоиду с амплитудой 2, сдвинутую по оси $x$ на $\frac{3\pi}{4}$, а также сжатую по оси $x$ с коэффициентом 3. Период функции будет равен:

$$\text{Период} = \frac{2\pi}{3}$$

• Нули функции находятся в точках $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $x_1 = \frac{7\pi}{12}$.
• Середина дуги (максимум) находится в точке $x = \frac{5\pi}{12}$, где функция принимает значение 2.

б) $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$;

1) Нули функции

Для нахождения нулей функции $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$, приравняем её к нулю:

$$-3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Так как множитель $-3$ не равен нулю, уравнение будет равно нулю, когда:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, получаем уравнение:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Решим относительно $x$:

$$2x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Приводим к общему знаменателю:

$$2x = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Теперь решим относительно $x$:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Таким образом, нули функции будут равны:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Рассмотрим два ближайших значения $n = 0$ и $n = 1$:

• Для $n = 0$:

  $$x_0 = \frac{\pi}{12}$$

• Для $n = 1$:

  $$x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$

Таким образом, два ближайших нуля функции:

$$x_0 = \frac{\pi}{12}, \quad x_1 = \frac{7\pi}{12}$$

2) Середина дуги

Середина дуги — это точка, в которой функция достигает максимума или минимума. В данной функции амплитуда равна $3$, так как перед косинусом стоит множитель $-3$. Для нахождения середины дуги найдем значение $x$, которое лежит между ближайшими нулями, и вычислим значение функции в этой точке.

Найдем середину между ближайшими нулями $x_0 = \frac{\pi}{12}$ и $x_1 = \frac{7\pi}{12}$:

$$x = \frac{1}{2} \left( x_0 + x_1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

Теперь подставим это значение в исходную функцию:

$$y = -3 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = -3 \cos \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) = -3 \cos \frac{2\pi}{3}$$

Значение $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$$y = -3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2}$$

Таким образом, в середине дуги, когда $x = \frac{\pi}{6}$, функция принимает значение $y = \frac{3}{2}$.

3) График функции

График функции $y = -3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 3, сдвинутую по оси $x$ на $-\frac{\pi}{3}$, и сжатую по оси $x$ с коэффициентом 2. Период функции будет равен:

$$\text{Период} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

• Нули функции находятся в точках $x_0 = \frac{\pi}{12}$, $x_1 = \frac{7\pi}{12}$.
• Середина дуги (максимум) находится в точке $x = \frac{\pi}{6}$, где функция принимает значение $y = \frac{3}{2}$.