ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Подберите коэффициенты а, b и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin(bx + c)$:

а) рис. 60;

б) рис. 61.

Подобрать коэффициенты $a$, $b$ и $c$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \sin(bx + c)$;

а) Рисунок 60:

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{\pi}{12}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{12}$, значит:

$$b = \pi : \left( \frac{5\pi}{12} — \left( -\frac{\pi}{12} \right) \right) = \pi : \frac{6\pi}{12} = \pi : \frac{\pi}{2} = 2;$$ $$c = b \cdot \frac{\pi}{12} = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6};$$

Вершина дуги лежит в точке с ординатой $y = 2$, значит:

$$a = 2;$$

Ответ: $y = 2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$.

б) Рисунок 61:

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{2}$, значит:

$$b = \pi : \left( \frac{5\pi}{2} — \frac{\pi}{2} \right) = \pi : \frac{4\pi}{2} = \pi : 2\pi = 0.5;$$ $$c = b \cdot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};$$

Вершина дуги лежит в точке с ординатой $y = -1.5$, значит:

$$a = -1.5;$$

Ответ: $y = -1.5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$.

а) Рисунок 60

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{\pi}{12}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{12}$.

Эти точки пересечения с осью $Ox$ говорят нам, что между ними один полный период синусоиды. Для функции вида $y = a \sin(bx + c)$ период синусоиды равен $\frac{2\pi}{b}$, где $b$ — это коэффициент, определяющий частоту функции. Период между точками пересечения $x_1$ и $x_2$ равен:

$$x_2 — x_1 = \frac{5\pi}{12} — \left( -\frac{\pi}{12} \right) = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}.$$

Это расстояние соответствует полному периоду функции. Тогда, зная, что период функции $y = a \sin(bx + c)$ равен $\frac{2\pi}{b}$, получаем:

$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad b = 2.$$

Коэффициент $c$.

Коэффициент $c$ определяет сдвиг синусоиды вдоль оси $x$. Мы знаем, что синусоида пересекает ось $Ox$ в точке $x_1 = -\frac{\pi}{12}$. Подставим эту точку в уравнение $y = a \sin(bx + c)$, при этом $y = 0$ в этой точке:

$$0 = a \sin\left( b \cdot \left( -\frac{\pi}{12} \right) + c \right).$$

Так как $b = 2$, уравнение примет вид:

$$0 = a \sin\left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{12} \right) + c \right) = a \sin\left( -\frac{\pi}{6} + c \right).$$

Чтобы синус был равен нулю, его аргумент должен быть кратен $\pi$, то есть:

$$-\frac{\pi}{6} + c = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Для минимального значения $n = 1$, получаем:

$$c = \frac{\pi}{6}.$$

Коэффициент $a$.

Чтобы определить коэффициент амплитуды $a$, нужно найти высоту синусоиды. По графику мы видим, что вершина синусоиды достигает значения $y = 2$. Это означает, что амплитуда функции равна 2. Так как синусоида колеблется от $-2$ до $2$, то:

$$a = 2.$$

Ответ для пункта а):

$$y = 2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right).$$

б) Рисунок 61

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{2}$.

Период функции между этими точками равен:

$$x_2 — x_1 = \frac{5\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 2\pi.$$

Для функции $y = a \sin(bx + c)$ период равен $\frac{2\pi}{b}$. Поскольку период между точками $x_1$ и $x_2$ равен $2\pi$, то:

$$\frac{2\pi}{b} = 2\pi \quad \Rightarrow \quad b = 1.$$

Коэффициент $c$.

Мы знаем, что синусоида пересекает ось $Ox$ в точке $x_1 = \frac{\pi}{2}$. Подставим эту точку в уравнение:

$$0 = a \sin\left( b \cdot \frac{\pi}{2} + c \right).$$

Так как $b = 1$, уравнение примет вид:

$$0 = a \sin\left( \frac{\pi}{2} + c \right).$$

Чтобы синус был равен нулю, его аргумент должен быть кратен $\pi$, то есть:

$$\frac{\pi}{2} + c = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Для минимального значения $n = 1$, получаем:

$$c = \frac{\pi}{4}.$$

Коэффициент $a$.

По графику мы видим, что синусоида имеет амплитуду 1.5, то есть максимальное значение функции равно 1.5, а минимальное — -1.5. Следовательно:

$$a = -1.5.$$

Ответ для пункта б):

$$y = -1.5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right).$$