ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Подберите коэффициенты а, b и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \cos(bx + c)$:

а) рис. 62;

б) рис. 63.

Подобрать коэффициенты $a$, $b$ и $c$ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции $y = a \cos(bx + c)$;

а) Рисунок 62:

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{\pi}{3}$, значит:
$b = \pi : \left( \frac{\pi}{3} — \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = \pi : \frac{2\pi}{3} = \frac{3}{2};$

Вершина дуги лежит в точке $(0; -2)$, значит:
$c = b \cdot 0 = 0;$
$a = -2;$
Ответ: $y = -2 \cos \frac{3x}{2}$.

б) Рисунок 63:

График пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{7\pi}{12}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{12}$, значит:
$b = \pi : \left( -\frac{\pi}{12} — \left( -\frac{7\pi}{12} \right) \right) = \pi : \frac{6\pi}{12} = \pi : \frac{\pi}{2} = 2;$

Вершина дуги лежит в точке $\left( -\frac{\pi}{3}; 3 \right)$, значит:
$c = b \cdot \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3};$
$a = 3;$
Ответ: $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

а) Рисунок 62

Шаг 1: Определение коэффициента $b$

График функции пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{\pi}{3}$. Для того чтобы найти коэффициент $b$, воспользуемся тем, что период функции $\cos(bx + c)$ связан с длиной интервала, на котором график проходит через одну волну, т.е. от одного пересечения оси $Ox$ до следующего.

Период функции $y = \cos(bx + c)$ равен:

$$T = \frac{2\pi}{b}.$$

Между точками пересечения графика с осью $Ox$ (то есть между $x_1$ и $x_2$) находится половина периода, так как график косинуса пересекает ось $Ox$ дважды за период — один раз в точке, где значение функции равно нулю при движении вправо, и второй раз — при движении влево.

Рассмотрим длину интервала между пересечениями:

$$x_2 — x_1 = \frac{\pi}{3} — \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Это — половина периода функции, значит, полный период $T$ будет равен:

$$T = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$

Теперь, используя связь между периодом и коэффициентом $b$, можем найти $b$:

$$T = \frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}.$$

Решая это уравнение относительно $b$, получаем:

$$b = \frac{3}{2}.$$

Шаг 2: Определение коэффициента $c$

Для нахождения коэффициента $c$ нужно посмотреть на смещение графика. Мы знаем, что вершина дуги (пик) функции $y = \cos(bx + c)$ находится в точке $(0; -2)$. Это означает, что в момент $x = 0$ значение функции $y$ должно быть равно $-2$.

График функции $\cos(bx + c)$ достигает максимума в точке, где $bx + c = 0$, а минимума — в точке $bx + c = \pi$. Мы видим, что график функции имеет минимум в точке $x = 0$, и значение функции в этой точке равно $-2$.

Таким образом, на момент $x = 0$ функция принимает минимальное значение, что говорит о том, что $a = -2$ (коэффициент амплитуды). Также при $x = 0$ выражение внутри косинуса должно быть равно $\pi$ (потому что $\cos(\pi) = -1$).

Подставляем $x = 0$ в аргумент косинуса:

$$b \cdot 0 + c = \pi.$$

Получаем:

$$c = \pi.$$

Теперь мы можем записать окончательную формулу для функции:

$$y = -2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right).$$

Ответ для пункта а):

$$y = -2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right).$$

б) Рисунок 63

Шаг 1: Определение коэффициента $b$

График функции пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = -\frac{7\pi}{12}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{12}$. Как и в предыдущем случае, между этими точками проходит половина периода. Рассчитаем длину интервала между ними:

$$x_2 — x_1 = -\frac{\pi}{12} — \left( -\frac{7\pi}{12} \right) = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}.$$

Это — половина периода, поэтому полный период будет равен:

$$T = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi.$$

Теперь, используя связь между периодом и коэффициентом $b$, найдём $b$:

$$T = \frac{2\pi}{b} = \pi.$$

Решая это уравнение относительно $b$, получаем:

$$b = 2.$$

Шаг 2: Определение коэффициента $c$

Вершина дуги графика лежит в точке $\left( -\frac{\pi}{3}; 3 \right)$. Это означает, что в момент $x = -\frac{\pi}{3}$ значение функции $y$ должно быть равно $3$, и этот момент соответствует минимуму графика.

Для того чтобы $y = 3$ в точке $x = -\frac{\pi}{3}$, мы подставляем это значение в выражение для функции:

$$y = a \cos(bx + c).$$

Подставляем $x = -\frac{\pi}{3}$, $a = 3$ (так как график достигает максимума), и $b = 2$:

$$3 = 3 \cos \left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) + c \right).$$

Сокращаем на 3:

$$1 = \cos \left( -\frac{2\pi}{3} + c \right).$$

Мы знаем, что $\cos(\theta) = 1$ при $\theta = 0 + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$-\frac{2\pi}{3} + c = 0 \quad \text{или} \quad -\frac{2\pi}{3} + c = 2k\pi.$$

Решаем первое уравнение:

$$c = \frac{2\pi}{3}.$$

Теперь мы можем записать окончательную формулу для функции:

$$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right).$$

Ответ для пункта б):

$$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right).$$