ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$:

а) Возрастает;

Функция $y = -\sin x$ возрастает на отрезке:
$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right);$
$2 \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \right);$
$\frac{3\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{2} + 4\pi n;$

б) Убывает;

Функция $y = -\sin x$ убывает на отрезке:
$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2};$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$2 \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right);$
$2 \left( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) \leq x \leq 2 \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right);$
$-\frac{\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 4\pi n;$

1. Рассмотрим функцию

Функция, с которой мы работаем:

$$y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right).$$

Эта функция является преобразованием стандартной функции $y = \sin x$, что означает, что она может быть сжата или растянута по оси $x$, смещена, а также инвертирована и масштабирована по оси $y$.

2. Общий вид преобразований

Приведем пояснение, какие преобразования происходят с исходной функцией $y = \sin x$:

• Множитель $-1,5$ на внешней части функции инвертирует график (меняет знак) и масштабирует его по оси $y$ на коэффициент 1,5. Это означает, что амплитуда функции будет равна 1,5, но с противоположным знаком.
• Множитель $\frac{1}{2}$ внутри аргумента синуса растягивает график по оси $x$. Это изменяет период функции, увеличивая его в 2 раза по сравнению с исходной функцией $\sin x$.
• Смещение $-\frac{\pi}{4}$ внутри аргумента сдвигает график на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Таким образом, функция $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ является растянутой по оси $x$, инвертированной и сдвинутой по оси $x$.

3. Определение промежутков возрастания и убывания для базовой функции $y = \sin x$

Для того чтобы правильно анализировать, где функция возрастает или убывает, сначала рассмотрим базовую функцию $y = \sin x$.

3.1. Где возрастает функция $y = \sin x$?

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[ 0; \pi \right]$, то есть с $0$ до $\pi$, а также на каждом последующем интервале длины $2\pi$:

$$0 + 2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3.2. Где убывает функция $y = \sin x$?

Функция $y = \sin x$ убывает на интервале $\left[ \pi; 2\pi \right]$, а также на каждом последующем интервале длины $2\pi$:

$$\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. Анализ преобразованной функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$

Теперь, когда мы разобрались с базовой функцией $y = \sin x$, давайте применим преобразования к этой функции и найдем, на каких промежутках она возрастает и убывает.

4.1. Изучим, как сдвиг и растяжение влияют на промежутки

1. Растяжение по оси $x$ (умножение на $\frac{1}{2}$):

   Это означает, что период функции увеличивается в 2 раза. Если для $y = \sin x$ период равен $2\pi$, то для функции $y = \sin \left( \frac{x}{2} \right)$ период будет равен $4\pi$.

   Таким образом, период функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ равен $4\pi$, а не $2\pi$.

2. Смещение вправо (на $\frac{\pi}{4}$):

   Смещение вправо на $\frac{\pi}{4}$ сдвигает график функции. Это означает, что все промежутки, на которых функция возрастает или убывает, также сдвигаются вправо на $\frac{\pi}{4}$.

3. Инверсия по оси $y$:

   Множитель $-1,5$ меняет знак функции, инвертируя ее. То есть, где функция $y = \sin x$ возрастала, $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ будет убывать, и наоборот.

4.2. Промежутки возрастания для функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$

Мы знаем, что $y = \sin x$ возрастает на интервале $\left[ 0, \pi \right]$ и аналогично для каждого периода на интервалах длины $2\pi$:

$$0 + 2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Для функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ возрастание будет происходить на интервалах, сдвинутых на $\frac{\pi}{4}$ вправо и инвертированных. Мы можем посчитать это следующим образом:

• Для $y = \sin x$, возрастает на $\left[ 0, \pi \right]$, значит для $y = \sin \left( \frac{x}{2} \right)$ период увеличивается, и функция будет возрастать на интервале $\left[ 0, 2\pi \right]$.
• После растяжения по оси $x$, сдвига и инверсии, возрастание будет происходить на интервале:

$$\frac{3\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4.3. Промежутки убывания для функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$

Функция $y = \sin x$ убывает на интервале $\left[ \pi, 2\pi \right]$, а после растяжения и сдвига убывание будет происходить на интервалах:

$$-\frac{\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

5. Ответ:

а) Функция возрастает на промежутках:

$$\frac{3\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) Функция убывает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} + 4\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$