ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Чему равен основной период функции:

а) $y=-1,5\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$

б) $y=3\cos (2x+\frac{2\pi }{3})$

Основным периодом функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является число $2\pi$.

а) $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$

Основной период функции:

$y(x + T) = y(x);$
$-1,5 \sin \left( \frac{x + T}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$
$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} + \frac{T}{2} \right) = \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$
$\frac{1}{2} T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = 4\pi;$

Ответ: $T = 4\pi$.

б) $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Основной период функции:

$y(x + T) = y(x);$
$3 \cos \left( 2(x + T) + \frac{2\pi}{3} \right) = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right);$
$\cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} + 2T \right) = \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right);$
$2T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \pi;$

Ответ: $T = \pi$.

Основным периодом функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является число $2\pi$.

а) $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$

Задание:

Найдем основной период функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$.

Шаг 1: Описание функции

Это модификация стандартной синусоидальной функции с несколькими изменениями:

1. Амплитуда: множитель $-1,5$ изменяет амплитуду функции.
2. Горизонтальное сдвижение: $\frac{\pi}{4}$ сдвигает график на $\frac{\pi}{4}$ вправо.
3. Изменение периода: $\frac{x}{2}$ указывает на то, что функция растягивается вдоль оси $x$.

Для начала найдем основной период функции $y = \sin x$, который равен $2\pi$. Период функции $y = \sin kx$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ — коэффициент при $x$.

Шаг 2: Изменение периода

В данном случае внутри синуса стоит $\frac{x}{2}$, что можно переписать как $\sin \left( \frac{1}{2} x — \frac{\pi}{4} \right)$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ влияет на период функции, растягивая его в 2 раза по сравнению с оригинальной функцией $y = \sin x$.

Период функции $y = \sin \left( \frac{x}{2} \right)$ равен:

$$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$

Это значит, что функция будет повторяться через $4\pi$ единиц вдоль оси $x$.

Шаг 3: Проверка сдвига

Сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ вправо не влияет на период функции, только на её начало. Это изменение не изменяет продолжительность одного полного цикла функции.

Шаг 4: Ответ

Итак, основной период функции $y = -1,5 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$ равен $4\pi$.

Ответ: $T = 4\pi$.

б) $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Задание:

Найдем основной период функции $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

Шаг 1: Описание функции

Эта функция является модификацией стандартной косинусоидальной функции с несколькими изменениями:

1. Амплитуда: множитель $3$ изменяет амплитуду функции.
2. Горизонтальное сдвижение: $\frac{2\pi}{3}$ сдвигает график на $\frac{2\pi}{3}$ вправо.
3. Изменение периода: коэффициент $2$ при $x$ изменяет период функции.

Для начала, как и в случае с синусом, основной период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Период функции $y = \cos kx$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ — коэффициент при $x$.

Шаг 2: Изменение периода

В данной функции внутри косинуса стоит $2x$, что можно переписать как $\cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$. Коэффициент $2$ влияет на период функции, сокращая его в 2 раза по сравнению с оригинальной функцией $y = \cos x$.

Период функции $y = \cos (2x)$ равен:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Это значит, что функция будет повторяться через $\pi$ единиц вдоль оси $x$.

Шаг 3: Проверка сдвига

Сдвиг на $\frac{2\pi}{3}$ вправо не влияет на период функции, только на её начало. Это изменение не изменяет продолжительность одного полного цикла функции.

Шаг 4: Ответ

Итак, основной период функции $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$ равен $\pi$.

Ответ: $T = \pi$.