ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите НОД и НОК чисел:

а) 84 и 56;

б) 66, 99 и 132;

в) 96 и 144;

г) 39, 65 и 156.

Найти НОД и НОК чисел:

а) 84 и 56;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 28;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 168;$$

б) 66, 99 и 132;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 66 & 2 \\ 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 99 & 3 \\ 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 132 & 2 \\ 66 & 2 \\ 33 & 3 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 3 \cdot 11 = 33;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 396;$$

в) 96 и 144;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 96 & 2 \\ 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 48;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 288;$$

г) 39, 65 и 156;

Разложим числа на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{c|c} 156 & 2 \\ 78 & 2 \\ 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$

Перемножим общие множители:

$$\text{НОД} = 13;$$

Перемножим числа с большими степенями:

$$\text{НОК}=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 13=780$$

а) 84 и 56

Шаг 1: Разложим 84 и 56 на простые множители

Разложение числа 84 на простые множители:

Начнем делить число 84 на простые числа:

• $84 \div 2 = 42$ (делим на 2),
• $42 \div 2 = 21$ (делим на 2),
• $21 \div 3 = 7$ (делим на 3),
• $7 \div 7 = 1$ (делим на 7).

Таким образом, разложение числа 84:

$$84 = 2^2 \times 3 \times 7$$

Разложение числа 56 на простые множители:

Начнем делить число 56 на простые числа:

• $56 \div 2 = 28$ (делим на 2),
• $28 \div 2 = 14$ (делим на 2),
• $14 \div 2 = 7$ (делим на 2),
• $7 \div 7 = 1$ (делим на 7).

Таким образом, разложение числа 56:

$$56 = 2^3 \times 7$$

Шаг 2: Находим НОД (наибольший общий делитель)

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени всех общих простых множителей.

• Для простого числа 2: минимальная степень $2^2$ (из разложения числа 84),
• Для простого числа 7: степень $7^1$ (общий множитель для 84 и 56).

Перемножаем общие множители:

$$\text{НОД}(84, 56) = 2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$$

Шаг 3: Находим НОК (наименьшее общее кратное)

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей, которые встречаются в разложении чисел 84 и 56.

• Для простого числа 2: максимальная степень $2^3$ (из разложения числа 56),
• Для простого числа 3: степень $3^1$ (из разложения числа 84),
• Для простого числа 7: степень $7^1$ (общий множитель для 84 и 56).

Перемножаем эти множители:

$$\text{НОК}(84, 56) = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 168$$

Ответ для пункта (а):

• НОД = 28
• НОК = 168

б) 66, 99 и 132

Шаг 1: Разложим 66, 99 и 132 на простые множители

Разложение числа 66 на простые множители:

Начнем делить число 66 на простые числа:

• $66 \div 2 = 33$ (делим на 2),
• $33 \div 3 = 11$ (делим на 3),
• $11 \div 11 = 1$ (делим на 11).

Таким образом, разложение числа 66:

$$66 = 2 \times 3 \times 11$$

Разложение числа 99 на простые множители:

Начнем делить число 99 на простые числа:

• $99 \div 3 = 33$ (делим на 3),
• $33 \div 3 = 11$ (делим на 3),
• $11 \div 11 = 1$ (делим на 11).

Таким образом, разложение числа 99:

$$99 = 3^2 \times 11$$

Разложение числа 132 на простые множители:

Начнем делить число 132 на простые числа:

• $132 \div 2 = 66$ (делим на 2),
• $66 \div 2 = 33$ (делим на 2),
• $33 \div 3 = 11$ (делим на 3),
• $11 \div 11 = 1$ (делим на 11).

Таким образом, разложение числа 132:

$$132 = 2^2 \times 3 \times 11$$

Шаг 2: Находим НОД (наибольший общий делитель)

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени всех общих простых множителей.

• Для простого числа 2: минимальная степень $2^1$ (из разложения числа 66 и 132),
• Для простого числа 3: минимальная степень $3^1$ (из разложения числа 66 и 132),
• Для простого числа 11: степень $11^1$ (общий множитель для всех трех чисел).

Перемножаем общие множители:

$$\text{НОД}(66, 99, 132) = 2^1 \times 3^1 \times 11^1 = 2 \times 3 \times 11 = 66$$

Шаг 3: Находим НОК (наименьшее общее кратное)

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей, которые встречаются в разложении чисел 66, 99 и 132.

• Для простого числа 2: максимальная степень $2^2$ (из разложения числа 132),
• Для простого числа 3: максимальная степень $3^2$ (из разложения числа 99),
• Для простого числа 11: степень $11^1$ (общий множитель для всех трех чисел).

Перемножаем эти множители:

$$\text{НОК}(66, 99, 132) = 2^2 \times 3^2 \times 11 = 4 \times 9 \times 11 = 396$$

Ответ для пункта (б):

• НОД = 66
• НОК = 396

в) 96 и 144

Шаг 1: Разложим 96 и 144 на простые множители

Разложение числа 96 на простые множители:

Начнем делить число 96 на простые числа:

• $96 \div 2 = 48$,
• $48 \div 2 = 24$,
• $24 \div 2 = 12$,
• $12 \div 2 = 6$,
• $6 \div 2 = 3$,
• $3 \div 3 = 1$.

Таким образом, разложение числа 96:

$$96 = 2^5 \times 3$$

Разложение числа 144 на простые множители:

Начнем делить число 144 на простые числа:

• $144 \div 2 = 72$,
• $72 \div 2 = 36$,
• $36 \div 2 = 18$,
• $18 \div 2 = 9$,
• $9 \div 3 = 3$,
• $3 \div 3 = 1$.

Таким образом, разложение числа 144:

$$144 = 2^4 \times 3^2$$

Шаг 2: Находим НОД (наибольший общий делитель)

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени всех общих простых множителей.

• Для простого числа 2: минимальная степень $2^4$ (из разложения числа 144),
• Для простого числа 3: минимальная степень $3^1$ (из разложения числа 96).

Перемножаем общие множители:

$$\text{НОД}(96, 144) = 2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$$

Шаг 3: Находим НОК (наименьшее общее кратное)

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей, которые встречаются в разложении чисел 96 и 144.

• Для простого числа 2: максимальная степень $2^5$ (из разложения числа 96),
• Для простого числа 3: максимальная степень $3^2$ (из разложения числа 144).

Перемножаем эти множители:

$$\text{НОК}(96, 144) = 2^5 \times 3^2 = 32 \times 9 = 288$$

Ответ для пункта (в):

• НОД = 48
• НОК = 288

г) 39, 65 и 156

Шаг 1: Разложим 39, 65 и 156 на простые множители

Разложение числа 39 на простые множители:

Начнем делить число 39 на простые числа:

• $39 \div 3 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 39:

$$39 = 3 \times 13$$

Разложение числа 65 на простые множители:

Начнем делить число 65 на простые числа:

• $65 \div 5 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 65:

$$65 = 5 \times 13$$

Разложение числа 156 на простые множители:

Начнем делить число 156 на простые числа:

• $156 \div 2 = 78$,
• $78 \div 2 = 39$,
• $39 \div 3 = 13$,
• $13 \div 13 = 1$.

Таким образом, разложение числа 156:

$$156 = 2^2 \times 3 \times 13$$

Шаг 2: Находим НОД (наибольший общий делитель)

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени всех общих простых множителей.

• Для простого числа 3: степень $3^1$ (из разложения 39 и 156),
• Для простого числа 13: степень $13^1$ (из разложения всех чисел).

Перемножаем общие множители:

$$\text{НОД}(39, 65, 156) = 13$$

Шаг 3: Находим НОК (наименьшее общее кратное)

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени всех простых множителей, которые встречаются в разложении чисел 39, 65 и 156.

• Для простого числа 2: максимальная степень $2^2$ (из разложения числа 156),
• Для простого числа 3: максимальная степень $3^1$ (из разложения чисел 39 и 156),
• Для простого числа 5: степень $5^1$ (из разложения числа 65),
• Для простого числа 13: степень $13^1$ (общий множитель для всех чисел).

Перемножаем эти множители:

$$\text{НОК}(39, 65, 156) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 13^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 13 = 780$$

Ответ для пункта (г):

• НОД = 13
• НОК = 780

Итоговые ответы:

• а) НОД = 28, НОК = 168
• б) НОД = 66, НОК = 396
• в) НОД = 48, НОК = 288
• г) НОД = 13, НОК = 780