ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Между рациональными числами $a$ и $b$ поместите 5 рациональных чисел:

а) $a = 1,1$, $b = 1,2$;

б) $a = \frac{11}{12}$, $b = \frac{10}{11}$;

в) $a = 11,0001$, $b = 11,0002$;

г) $a = \frac{12\,221}{12\,222}$, $b = \frac{122\,221}{122\,222}$.

Поместить 5 рациональных чисел между рациональными числами $a$ и $b$:

а) $a=1,1$ и $b=1,2$;
Рациональные числа, расположенные между $a=1,1$ и $b=1,2$:

$$1,1;1,1031;1,1056;1,112;1,134;1,15;1,2.$$

б) $a=\frac{11}{12}$ и $b=\frac{10}{11}$;
Преобразуем $a$ и $b$ к общим знаменателям:

$$a=\frac{11\cdot 11}{12\cdot 11}=\frac{121}{132}=\frac{1210}{1320},$$

$$$$$$b=\frac{10\cdot 12}{11\cdot 12}=\frac{120}{132}=\frac{1200}{1320}\mathrm{.}$$

Рациональные числа, расположенные между $a=\frac{1210}{1320}$ и $b=\frac{1200}{1320}$:

$$\frac{10}{11};\frac{1201}{1320};\frac{1202}{1320};\frac{1204}{1320};\frac{1205}{1320};\frac{1209}{1320};\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

Также можно выразить числа в другой форме:

$$\frac{10}{11};\frac{1201}{1320};\frac{601}{660};\frac{301}{330};\frac{241}{264};\frac{403}{440};\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

в) $a=11,0001$ и $b=11,0002$;
Рациональные числа, расположенные между $a=11,0001$ и $b=11,0002$:

$$11,0001;11,000101;11,000104;11,00011;11,00013;11,000145;11,0002.$$

г) $a=\frac{12221}{12222}$ и $b=\frac{122221}{122222}$;
Преобразуем $a$ и $b$ к общим знаменателям:

$$a=\frac{12221\cdot 61111}{12222\cdot 61111}=\frac{746837531}{746898642},$$

$$$$$$b=\frac{122221\cdot 61111}{122222\cdot 61111}=\frac{746892531}{746898642}\mathrm{.}$$

Рациональные числа, расположенные между $a=\frac{746837531}{746898642}$ и $b=\frac{746892531}{746898642}$:

$$\frac{12221}{12222};\frac{746837532}{746898642};\frac{746837546}{746898642};\frac{746837598}{746898642};\frac{746837652}{746898642};\frac{746851531}{746898642};\frac{122221}{122222}\mathrm{.}$$

Можно выразить числа и в других формах:

$$\frac{12221}{12222};\frac{61106}{61111};\frac{53345539}{53349903};\frac{124472933}{124483107};\frac{124472942}{124483107};\frac{746837531}{746898642};\frac{122221}{122222}\mathrm{.}$$

Поместить 5 рациональных чисел между рациональными числами $a$ и $b$

Задача состоит в нахождении 5 рациональных чисел, которые лежат между двумя заданными числами $a$ и $b$, и при этом оба числа являются рациональными. Мы будем использовать различные подходы для разных типов чисел $a$ и $b$.

а) $a=1,1$ и $b=1,2$

Шаг 1: Анализ чисел

• $a=1,1$ и $b=1,2$ — это числа с десятичной дробной частью. Чтобы найти 5 рациональных чисел между ними, мы можем просто взять промежуточные значения между ними.

Шаг 2: Промежуточные значения

Для удобства, будем считать, что между любыми двумя рациональными числами можно найти бесконечно много других рациональных чисел. Таким образом, выберем несколько чисел, равномерно распределенных между $a$ и $b$, чтобы они точно попадали в промежуток.

Между числами $1,1$ и $1,2$ мы можем взять такие числа:

$$1,1;1,1031;1,1056;1,112;1,134;1,15;1,2.$$

Здесь мы выбираем значения, которые равномерно разделяют интервал от 1,1 до 1,2.

Ответ: Пары чисел между $a=1,1$ и $b=1,2$ — это:

$$1,1;1,1031;1,1056;1,112;1,134;1,15;1,2.$$

б) $a=\frac{11}{12}$ и $b=\frac{10}{11}$

Шаг 1: Преобразуем числа к общему знаменателю

Даны дроби $a=\frac{11}{12}$ и $b=\frac{10}{11}$. Чтобы проще работать с ними, приведем обе дроби к общему знаменателю.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{11}{12}$ на 11:

$$a=\frac{11}{12}=\frac{11\cdot 11}{12\cdot 11}=\frac{121}{132}\mathrm{.}$$

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{10}{11}$ на 12:

$$b=\frac{10}{11}=\frac{10\cdot 12}{11\cdot 12}=\frac{120}{132}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть две дроби с одинаковым знаменателем:

$$a=\frac{121}{132},b=\frac{120}{132}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим числа между $a$ и $b$

Теперь можем выбрать числа, которые лежат между $\frac{120}{132}$ и $\frac{121}{132}$, например:

$$\frac{120}{132},\frac{1201}{1320},\frac{1202}{1320},\frac{1204}{1320},\frac{1205}{1320},\frac{1209}{1320},\frac{121}{132}\mathrm{.}$$

Здесь числа $\frac{1201}{1320},\frac{1202}{1320},\dots$ расположены между $\frac{120}{132}$ и $\frac{121}{132}$, и мы можем видеть, что это дроби с общим знаменателем 1320, что также дает множество рациональных чисел между $a$ и $b$.

Ответ: Пары чисел между $a=\frac{11}{12}$ и $b=\frac{10}{11}$:

$$\frac{10}{11};\frac{1201}{1320};\frac{1202}{1320};\frac{1204}{1320};\frac{1205}{1320};\frac{1209}{1320};\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

в) $a=11,0001$ и $b=11,0002$

Шаг 1: Анализ чисел

$a=11,0001$ и $b=11,0002$ — числа с очень близкими значениями. Между ними тоже можно найти множество рациональных чисел, поэтому мы можем просто выбрать несколько значений с большим числом знаков после запятой, равномерно распределив их между $a$ и $b$.

Шаг 2: Промежуточные значения

Для чисел $a=11,0001$ и $b=11,0002$ можно взять такие значения:

$$11,0001;11,000101;11,000104;11,00011;11,00013;11,000145;11,0002.$$

Эти значения распределены между $a$ и $b$, и являются рациональными числами.

Ответ: Пары чисел между $a=11,0001$ и $b=11,0002$:

$$11,0001;11,000101;11,000104;11,00011;11,00013;11,000145;11,0002.$$

г) $a=\frac{12221}{12222}$ и $b=\frac{122221}{122222}$

Шаг 1: Преобразуем дроби

Для дробей $a=\frac{12221}{12222}$ и $b=\frac{122221}{122222}$, для удобства переведем их в более удобную форму с одинаковым знаменателем.

Умножим числитель и знаменатель $a=\frac{12221}{12222}$ на 61,111:

$$a=\frac{12221\cdot 61111}{12222\cdot 61111}=\frac{746837531}{746898642}\mathrm{.}$$

Умножим числитель и знаменатель $b=\frac{122221}{122222}$ на 61,111:

$$b=\frac{122221\cdot 61111}{122222\cdot 61111}=\frac{746892531}{746898642}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть два числа с одинаковым знаменателем, и можно найти числа между ними.

Шаг 2: Находим числа между $a$ и $b$

Рациональные числа, расположенные между $\frac{746837531}{746898642}$ и $\frac{746892531}{746898642}$, можно выразить следующими дробями:

$$\frac{12221}{12222};\frac{746837532}{746898642};\frac{746837546}{746898642};\frac{746837598}{746898642};\frac{746837652}{746898642};\frac{746851531}{746898642};\frac{122221}{122222}\mathrm{.}$$

Ответ: Пары чисел между $a=\frac{12221}{12222}$ и $b=\frac{122221}{122222}$:

$$\frac{12221}{12222};\frac{746837532}{746898642};\frac{746837546}{746898642};\frac{746837598}{746898642};\frac{746837652}{746898642};\frac{746851531}{746898642};\frac{122221}{122222}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• а) Рациональные числа между $1,1$ и $1,2$:$$1,1;1,1031;1,1056;1,112;1,134;1,15;1,2.$$
• б) Рациональные числа между $\frac{11}{12}$ и $\frac{10}{11}$:$$\frac{10}{11};\frac{1201}{1320};\frac{1202}{1320};\frac{1204}{1320};\frac{1205}{1320};\frac{1209}{1320};\frac{11}{12}\mathrm{.}$$
• в) Рациональные числа между $11,0001$ и $11,0002$:$$11,0001;11,000101;11,000104;11,00011;11,00013;11,000145;11,0002.$$
• г) Рациональные числа между $\frac{12221}{12222}$ и $\frac{122221}{122222}$:$$\frac{12221}{12222};\frac{746837532}{746898642};\frac{746837546}{746898642};\frac{746837598}{746898642};\frac{746837652}{746898642};\frac{746851531}{746898642};\frac{122221}{122222}\mathrm{.}$$