ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа:

а) $\frac{5}{13}$ и 301-й знак

б) $\frac{3}{26}$ и 127-й знак

в) $\frac{5}{33}$ и 2000-й знак

г) $\frac{5}{14}$ и 78-й знак

Используя микрокалькулятор определить десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи чисел:

а) $\frac{5}{13}$ и 301-й знак:

$$\frac{5}{13} = 0,(384615);$$

Длина периода равна 6 знакам;

$$\frac{301}{6} = \frac{50 \cdot 6 + 1}{6} = 50 + \frac{1}{6};$$

Первая цифра в периоде равна 3;
Ответ: 3.

б) $\frac{3}{26}$ и 127-й знак:

$$\frac{3}{26} = 0,1(53846);$$

Длина периода равна 6 знакам;

$$\frac{127 — 1}{6} = \frac{126}{6} = 21 = 20 + \frac{6}{6};$$

Шестая цифра в периоде равна 6;
Ответ: 6.

в) $\frac{5}{33}$ и 2000-й знак:

$$\frac{5}{33} = 0,(15);$$

Длина периода равна 2 знакам;

$$\frac{2000}{2} = 1000 = 999 + \frac{2}{2};$$

Вторая цифра в периоде равна 5;
Ответ: 5.

г) $\frac{5}{14}$ и 78-й знак:

$$\frac{5}{14} = 0,3(571428);$$

Длина периода равна 6 знакам;

$$\frac{78 — 1}{6} = \frac{77}{6} = \frac{12 \cdot 6 + 5}{6} = 12 + \frac{5}{6};$$

Пятая цифра в периоде равна 2;
Ответ: 2.

а) $\frac{5}{13}$ и 301-й знак:

Определяем периодическую дробь:

При делении 5 на 13 получаем:

$$\frac{5}{13} = 0,(384615)$$

Это означает, что дробь имеет период, состоящий из шести цифр: «384615».

Длина периода:

Период этой дроби имеет длину 6 знаков.

Ищем, какой знак будет 301-м:

Нам нужно найти 301-й знак в десятичной записи. Для этого воспользуемся формулой для нахождения позиции знака в периодической дроби:

$$\frac{301}{6} = 50 + \frac{1}{6}$$

Разделим 301 на 6:

$$301 \div 6 = 50 \, \text{целых} \, \text{и остаток} \, 1.$$

Это означает, что 301-й знак соответствует 1-му знаку в периоде.

Определяем цифру:

Мы знаем, что период «384615» повторяется, и 1-й знак этого периода равен 3.

Ответ:

$$\text{Ответ:} \, 3$$

б) $\frac{3}{26}$ и 127-й знак:

Определяем периодическую дробь:

При делении 3 на 26 получаем:

$$\frac{3}{26} = 0,1(53846)$$

Это означает, что дробь имеет период, состоящий из шести цифр: «53846».

Длина периода:

Период этой дроби имеет длину 5 знаков (цифры «53846»).

Ищем, какой знак будет 127-м:

Нам нужно найти 127-й знак в десятичной записи. Для этого используем формулу:

$$\frac{127 — 1}{6} = \frac{126}{6} = 21$$

Разделив 126 на 6, мы получаем 21, что означает, что 127-й знак — это 6-й знак в периоде.

Определяем цифру:

Период «53846» повторяется. Шестой знак (после первого цикла) — это 6.

Ответ:

$$\text{Ответ:} \, 6$$

в) $\frac{5}{33}$ и 2000-й знак:

Определяем периодическую дробь:

При делении 5 на 33 получаем:

$$\frac{5}{33} = 0,(15)$$

Это означает, что дробь имеет период, состоящий из двух цифр: «15».

Длина периода:

Период этой дроби имеет длину 2 знака (цифры «15»).

Ищем, какой знак будет 2000-м:

Нам нужно найти 2000-й знак в десятичной записи. Для этого используем формулу:

$$\frac{2000}{2} = 1000$$

Разделив 2000 на 2, мы получаем 1000, что означает, что 2000-й знак — это 2-й знак в периоде.

Определяем цифру:

Период «15» повторяется. Второй знак этого периода — это 5.

Ответ:

$$\text{Ответ:} \, 5$$

г) $\frac{5}{14}$ и 78-й знак:

Определяем периодическую дробь:

При делении 5 на 14 получаем:

$$\frac{5}{14} = 0,3(571428)$$

Это означает, что дробь имеет период, состоящий из шести цифр: «571428».

Длина периода:

Период этой дроби имеет длину 6 знаков (цифры «571428»).

Ищем, какой знак будет 78-м:

Нам нужно найти 78-й знак в десятичной записи. Для этого используем формулу:

$$\frac{78 — 1}{6} = \frac{77}{6} = 12 + \frac{5}{6}$$

Разделив 77 на 6, мы получаем 12 целых и остаток 5, что означает, что 78-й знак — это 5-й знак в периоде.

Определяем цифру:

Период «571428» повторяется. Пятый знак этого периода — это 2.

Ответ:

$$\text{Ответ:} \, 2$$

Итог:

а) $\frac{5}{13} = 0,(384615)$, 301-й знак: 3

б) $\frac{3}{26} = 0,1(53846)$, 127-й знак: 6

в) $\frac{5}{33} = 0,(15)$, 2000-й знак: 5

г) $\frac{5}{14} = 0,3(571428)$, 78-й знак: 2