ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление:

а) 1,(34);

б) 30,(115);

в) 6,(543);

г) 9,(2610)?

Записать данные десятичные периодические дроби в виде смешанных периодических дробей, определить их периоды:

а) $1,(34) = 1,3(43) = 1,34(34) = 1,343(43) \ldots$;
Ответ: 2 цифры.

б) $30,(115) = 30,1(51) = 30,11(511) = 30,115(115) \ldots$;
Ответ: 3 цифры.

в) $6,(548) = 6,5(485) = 6,54(854) = 6,548(548) \ldots$;
Ответ: 3 цифры.

г) $9,(2610) = 9,2(6102) = 9,26(1026) = 9,261(0261) \ldots$;
Ответ: 4 цифры.

Как видно по решению, существует бесконечно много представлений смешанного периодического числа, так как первую цифру периода всегда можно вынести за его пределы

Ответ: нет.

а) $1,(34)$

Шаг 1: Описание числа и период.

Число $1,(34)$ является десятичной периодической дробью, где периодом является «34». Это означает, что после запятой бесконечно повторяются цифры «34».

Шаг 2: Множество представлений смешанного периодического числа.

Мы можем записать это число разными способами, причем период будет оставаться одинаковым, но его начало можно изменить. Например, первую цифру периода «34» можно вынести за пределы периода.

• $1,(34) = 1,3(43)$: Переносим первую цифру «3» из периода на место, чтобы «43» стало периодом.
• $1,(34) = 1,34(34)$: Переносим «34» из периода на место, чтобы всё число «34» стало периодом.
• $1,(34) = 1,343(43)$: Переносим первую цифру «3» за пределы периода.

Всё это — эквивалентные записи одного и того же числа.

Шаг 3: Определение периода.

Так как период повторяется бесконечно и состоит из двух цифр, то ответ:
Ответ: 2 цифры.

б) $30,(115)$

Шаг 1: Описание числа и период.

Число $30,(115)$ — это десятичная периодическая дробь, где периодом является «115». Это означает, что после запятой бесконечно повторяются цифры «115».

Шаг 2: Множество представлений смешанного периодического числа.

Как и в предыдущем случае, мы можем записать это число разными способами, меняя, где начинается период.

• $30,(115) = 30,1(51)$: Переносим первую цифру «1» из периода на место, чтобы «51» стало периодом.
• $30,(115) = 30,11(511)$: Переносим «11» из периода на место, чтобы «511» стало периодом.
• $30,(115) = 30,115(115)$: Оставляем «115» как период и его повторение бесконечно.

Все эти записи эквивалентны друг другу.

Шаг 3: Определение периода.

Период повторяется бесконечно и состоит из трёх цифр, поэтому:
Ответ: 3 цифры.

в) $6,(548)$

Шаг 1: Описание числа и период.

Число $6,(548)$ является десятичной периодической дробью, где периодом является «548». Это означает, что после запятой бесконечно повторяются цифры «548».

Шаг 2: Множество представлений смешанного периодического числа.

Множество эквивалентных представлений для числа $6,(548)$:

• $6,(548) = 6,5(485)$: Переносим первую цифру «5» из периода на место, чтобы «485» стало периодом.
• $6,(548) = 6,54(854)$: Переносим «54» из периода на место, чтобы «854» стало периодом.
• $6,(548) = 6,548(548)$: Оставляем «548» как период, и его повторение будет бесконечным.

Все эти записи также эквивалентны.

Шаг 3: Определение периода.

Период повторяется бесконечно и состоит из трёх цифр, поэтому:
Ответ: 3 цифры.

г) $9,(2610)$

Шаг 1: Описание числа и период.

Число $9,(2610)$ — это десятичная периодическая дробь, где периодом является «2610». Это означает, что после запятой бесконечно повторяются цифры «2610».

Шаг 2: Множество представлений смешанного периодического числа.

Множество эквивалентных представлений для числа $9,(2610)$:

• $9,(2610) = 9,2(6102)$: Переносим первую цифру «2» из периода на место, чтобы «6102» стало периодом.
• $9,(2610) = 9,26(1026)$: Переносим «26» из периода на место, чтобы «1026» стало периодом.
• $9,(2610) = 9,261(0261)$: Переносим «261» из периода на место, чтобы «0261» стало периодом.

Все эти записи эквивалентны друг другу.

Шаг 3: Определение периода.

Период повторяется бесконечно и состоит из четырёх цифр, поэтому:
Ответ: 4 цифры.

Ответ на общее замечание:

Как видно из предыдущего разбора, для всех этих чисел существует бесконечно много эквивалентных представлений смешанных периодических дробей. Это связано с тем, что первую цифру периода можно вынести за пределы его повторяющейся части, изменяя вид записи числа, но не его значение.

Ответ на вопрос: Существует бесконечно много представлений смешанного периодического числа.