ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите число вида $\frac{m}{n}$ ($m$, $n$ — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$;

в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$;

г) $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$.

Найти числа вида $\frac{m}{n}$ с наименьшим знаменателем, лежащие на числовой прямой между числами:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$;

Шаг 1: Определим коэффициент умножения

Нам нужно найти наименьший знаменатель, который делит числовую прямую между $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Разделим интервал между этими числами на два равных отрезка:

• $n < 3$;
• $2n > 3$, отсюда $n > 1$;
• $n = 2$.

Шаг 2: Увеличим знаменатели чисел

Теперь увеличим знаменатели обеих дробей до значения 6:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6};$$ $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}.$$

Шаг 3: Найдем наименьшую дробь между ними

Наибольшая дробь, которую можно получить, это:

$$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$;

Шаг 1: Определим коэффициент умножения

Нам нужно найти наименьший знаменатель, который делит числовую прямую между $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$. Разделим интервал между этими числами на два равных отрезка:

• $2n < 9$, отсюда $n < 4.5$;
• $2n > 7$, отсюда $n > 3.5$;
• $n = 4$.

Шаг 2: Увеличим знаменатели чисел

Теперь увеличим знаменатели обеих дробей до значения 63:

$$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{14}{63};$$ $$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{18}{63}.$$

Шаг 3: Находим дроби между ними

В промежутке между $\frac{14}{63}$ и $\frac{18}{63}$ дроби будут следующими:

$$\frac{15}{63}, \frac{16}{63}, \frac{17}{63}.$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$;

Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю

Приводим обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12};$$ $$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{16}{12}.$$

Шаг 2: Найдем дроби между ними

Наибольшая дробь, которая находится между ними — это:

$$\frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}.$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$;

Шаг 1: Определим коэффициент умножения

Для чисел $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$ нужно выбрать такой знаменатель, который позволит найти дроби между ними. Рассчитаем коэффициенты для каждой из дробей:

• $121n < 323$, отсюда $n < 2 \frac{81}{121}$;
• $101n > 232$, отсюда $n > 2 \frac{30}{101}$;
• $n$ — не существует.

Шаг 2: Удвоим знаменатели

Попробуем удвоить знаменатели:

• $121n < 2 \cdot 323$, отсюда $n < 5 \frac{41}{121}$;
• $101n > 2 \cdot 232$, отсюда $n > 4 \frac{60}{101}$;
• $n = 5$.

Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{121}{323} = \frac{121 \cdot 232}{323 \cdot 232} = \frac{28072}{74936};$$ $$\frac{101}{232} = \frac{101 \cdot 323}{232 \cdot 323} = \frac{32623}{74936}.$$

Шаг 4: Найдем наибольшую дробь

Наибольшая дробь между ними:

$$\frac{2}{5}.$$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Найти числа вида $\frac{m}{n}$ с наименьшим знаменателем, лежащие на числовой прямой между числами:

а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$

Шаг 1: Определение коэффициента умножения

Для того чтобы найти дроби между $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$, нужно привести эти числа к общим знаменателям. Нам нужно найти такой знаменатель, который будет делить оба числа. Применим принцип поиска наименьшего общего знаменателя.

• Для начала давайте умножим знаменатель $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ на коэффициент, чтобы получить одинаковые знаменатели.
• Умножим на 2:
  • Для $\frac{1}{3}$ умножим и числитель, и знаменатель на 2, получим $\frac{2}{6}$.
  • Для $\frac{2}{3}$ умножим и числитель, и знаменатель на 2, получим $\frac{4}{6}$.

Шаг 2: Дроби между $\frac{2}{6}$ и $\frac{4}{6}$

Между $\frac{2}{6}$ и $\frac{4}{6}$ находится единственная дробь:

$$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$

Шаг 1: Определение коэффициента умножения

Найдем такие коэффициенты умножения, чтобы знаменатели дробей стали одинаковыми.

• Для $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{7}$ множители должны быть такими, чтобы $9 \times 7 = 63$, то есть общий знаменатель будет 63.
• Для $\frac{2}{9}$ умножим числитель и знаменатель на 7, получаем $\frac{14}{63}$.
• Для $\frac{2}{7}$ умножим числитель и знаменатель на 9, получаем $\frac{18}{63}$.

Шаг 2: Дроби между $\frac{14}{63}$ и $\frac{18}{63}$

Между $\frac{14}{63}$ и $\frac{18}{63}$ можно выделить следующие дроби:

$$\frac{15}{63}, \frac{16}{63}, \frac{17}{63}.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю

Для начала преобразуем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12.

• Для $\frac{3}{4}$ умножим числитель и знаменатель на 3, получаем $\frac{9}{12}$.
• Для $\frac{4}{3}$ умножим числитель и знаменатель на 4, получаем $\frac{16}{12}$.

Шаг 2: Дроби между $\frac{9}{12}$ и $\frac{16}{12}$

Между $\frac{9}{12}$ и $\frac{16}{12}$ находим дроби:

$$\frac{10}{12}, \frac{11}{12}, \frac{12}{12}, \frac{13}{12}, \frac{14}{12}, \frac{15}{12}.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$

Шаг 1: Определим коэффициент умножения

Нам нужно привести дроби $\frac{121}{323}$ и $\frac{101}{232}$ к общему знаменателю. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 323 и 232. Вычислим их наименьшее общее кратное (НОК).

• $323 = 17 \times 19$, $232 = 2^3 \times 29$.
• НОК(323, 232) = $2^3 \times 17 \times 19 \times 29 = 74936$.

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю

Теперь увеличим знаменатели обеих дробей до 74936:

• Для $\frac{121}{323}$ умножим числитель и знаменатель на 232:

  $$\frac{121}{323} = \frac{121 \times 232}{323 \times 232} = \frac{28072}{74936}.$$

• Для $\frac{101}{232}$ умножим числитель и знаменатель на 323:

  $$\frac{101}{232} = \frac{101 \times 323}{232 \times 323} = \frac{32623}{74936}.$$

Шаг 3: Дроби между $\frac{28072}{74936}$ и $\frac{32623}{74936}$

Между этими дробями можно выделить следующие дроби:

$$\frac{28100}{74936}, \frac{28130}{74936}, \frac{28150}{74936}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Итоговые ответы:

• а) $\frac{1}{2}$.
• б) $\frac{1}{4}$.
• в) $\frac{1}{4}$.
• г) $\frac{2}{5}$.