ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что 0 < а < b. Какое из двух чисел лежит ближе к 1?

Какое из двух чисел $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$ лежит ближе к 1, если $0 < a < b$?

Пусть $c = b — a$, тогда:

$$a = b — c;$$ $$b = a + c;$$

Значение первого числа:

$$\frac{a}{b} = \frac{b — c}{b} = 1 — \frac{c}{b};$$

Значение второго числа:

$$\frac{b}{a} = \frac{a + c}{a} = 1 + \frac{c}{a};$$

Отношение расстояний от чисел $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ до единицы:

$$\left( \Delta \frac{a}{b} \right) : \left( \Delta \frac{b}{a} \right) = \frac{c}{b} : \frac{c}{a} = \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = \frac{a}{b} < 1;$$

Ответ: $\boxed{\frac{a}{b}}$.

Какое из двух чисел $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$ лежит ближе к 1, если $0 < a < b$?

Шаг 1: Определим переменные

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа, причем $0 < a < b$. Нам нужно найти, какое из чисел $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$ ближе к 1.

Для удобства введем $c = b — a$, то есть разницу между $b$ и $a$. Следовательно, из этого выражения получаем:

$$a = b — c \quad \text{и} \quad b = a + c.$$

Шаг 2: Выразим оба числа через $c$

Теперь выразим числа $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$, используя $c$.

• Для первого числа $\frac{a}{b}$:

  $$\frac{a}{b} = \frac{b — c}{b} = 1 — \frac{c}{b}.$$

  Таким образом, $\frac{a}{b}$ отклоняется от 1 на величину $\frac{c}{b}$.

• Для второго числа $\frac{b}{a}$:

  $$\frac{b}{a} = \frac{a + c}{a} = 1 + \frac{c}{a}.$$

  Таким образом, $\frac{b}{a}$ отклоняется от 1 на величину $\frac{c}{a}$.

Шаг 3: Сравним отклонения от 1

Теперь нам нужно сравнить, какое из чисел ближе к 1, то есть какое из отклонений меньше.

• Отклонение для $\frac{a}{b}$ от 1: $\Delta \frac{a}{b} = \frac{c}{b}$.
• Отклонение для $\frac{b}{a}$ от 1: $\Delta \frac{b}{a} = \frac{c}{a}$.

Для того чтобы найти, какое из отклонений меньше, сравним их:

$$\frac{c}{b} : \frac{c}{a} = \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = \frac{a}{b}.$$

Так как $a < b$, то $\frac{a}{b} < 1$.

Шаг 4: Сделаем вывод

Мы видим, что отклонение числа $\frac{a}{b}$ от 1 меньше, чем отклонение числа $\frac{b}{a}$ от 1. Это значит, что число $\frac{a}{b}$ ближе к 1.

Ответ: $\boxed{\frac{a}{b}}$.