ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите неверное утверждение:

а) Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел

б) Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел равно множеству действительных чисел.

в) Множество целых чисел включается в множество натуральных чисел.

г) Множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел.

а) Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел:
— Верно, так как всякое целое число является действительным;

б) Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел равно множеству действительных чисел:
— Верно, так как всякое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным;

в) Множество целых чисел включается в множество натуральных чисел:
— Неверно, так как множество целых чисел включает в себя множество отрицательных чисел и нуль, которые не являются натуральными;

г) Множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел:
— Верно, так как всякое натуральное число является рациональным;

Ответ: в.

1. Утверждение (а):

Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел.

Определения:

• Целые числа $Z$ — это множество чисел, которые включают как положительные, так и отрицательные числа, а также ноль. Формально:$$Z=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$
• Действительные числа $R$ — это множество всех чисел, которые могут быть представлены на числовой оси, включая как целые, так и дробные числа, а также иррациональные числа. Формально:$$R=\{\text{все числа на числовой оси}\}$$

Рассмотрение утверждения:

• Каждый элемент множества целых чисел $Z$ — это число, которое можно представить как точку на числовой оси, и оно обязательно будет действительным числом.
• Всякое целое число, например, $3$, $-1$, или $0$, является действительным числом. Таким образом, множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел.

Ответ для пункта (а):

$$\text{Утверждение верно, так как всякое целое число является действительным числом.}$$

2. Утверждение (б):

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел равно множеству действительных чисел.

Определения:

• Рациональные числа $Q$ — это числа, которые могут быть выражены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q\mathrm{\ne }0$. Примеры рациональных чисел: $1$, $-\frac{1}{2}$, $3$, $0.25$.
• Иррациональные числа $I$ — это числа, которые не могут быть выражены в виде дроби, то есть они имеют бесконечную непериодическую десятичную запись. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
• Действительные числа $R$ — это все числа на числовой оси, включая как рациональные, так и иррациональные.

Рассмотрение утверждения:

• Множество рациональных чисел $Q$ включает в себя все дробные числа, которые могут быть записаны как $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Множество иррациональных чисел $I$ состоит из чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби.
• Любое действительное число обязательно будет либо рациональным, либо иррациональным. То есть объединение рациональных и иррациональных чисел полностью покрывает все действительные числа.

Ответ для пункта (б):

$$\text{Утверждение верно, так как всякое действительное число является }$$

$$\text{либо рациональным, либо иррациональным.}$$

3. Утверждение (в):

Множество целых чисел включается в множество натуральных чисел.

Определения:

• Целые числа $Z$ — это множество чисел, которое включает в себя все положительные и отрицательные целые числа, а также ноль.
• Натуральные числа $N$ — это множество чисел, которое начинается с 1 и продолжается дальше в положительном направлении. Формально:$$N=\{1,2,3,4,\dots \}$$

  Множество натуральных чисел не включает в себя ноль и отрицательные числа.

Рассмотрение утверждения:

• Множество целых чисел включает в себя не только положительные числа, но и отрицательные числа, а также ноль. Однако натуральные числа начинаются с 1 и включают только положительные числа.
• Таким образом, множество целых чисел $Z$ не может быть подмножеством множества натуральных чисел $N$, так как в нем присутствуют элементы, которых нет в $N$ (отрицательные числа и ноль).

Ответ для пункта (в):

$$\text{Утверждение неверно, так как множество целых чисел включает в себя}$$

$$\text{ множество отрицательных чисел и нуль, которые не являются натуральными.}$$

4. Утверждение (г):

Множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел.

Определения:

• Рациональные числа $Q$ — это числа, которые могут быть записаны в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q\mathrm{\ne }0$.
• Натуральные числа $N$ — это положительные целые числа, начиная с 1.

Рассмотрение утверждения:

• Все натуральные числа, такие как $1,2,3,\dots$, могут быть записаны как дроби с $q=1$, то есть, например, $1=\frac{1}{1}$, $2=\frac{2}{1}$, и так далее.
• Следовательно, все натуральные числа являются рациональными, так как они могут быть записаны в виде дроби.

Ответ для пункта (г):

$$\text{Утверждение верно, так как всякое натуральное число является рациональным.}$$

Итоговый вывод:

1. (а) Верно, так как целые числа — подмножество действительных чисел.
2. (б) Верно, так как объединение рациональных и иррациональных чисел охватывает все действительные числа.
3. (в) Неверно, так как целые числа не являются подмножеством натуральных.
4. (г) Верно, так как все натуральные числа являются рациональными.

Ответ: в.