ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tgx на заданном промежутке:

а) На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$;

б) На полуинтервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$;

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$;

г) На полуинтервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{tg} x$:

а) На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = \text{нет}$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.

б) На полуинтервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$y \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\sin \frac{3\pi}{4}}{\cos \frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} : \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1$;

$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$y \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$;

$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

г) На полуинтервале $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \frac{3\pi}{2}$;

$y(\pi) = \operatorname{tg} \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.

Напоминание об особенностях функции $\tan x$

Функция тангенс, $y = \tan x$, является периодической с периодом $\pi$, и имеет вертикальные асимптоты в точках, где косинус $\cos x = 0$. То есть, разрывы функции происходят в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.

Функция также стремится к $\infty$ при приближении к точкам разрыва с одной стороны и к $-\infty$ с другой стороны.

Теперь рассмотрим каждый из интервалов по очереди.

а) Интервал $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$

• Разрывы функции: в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, так как косинус в этих точках равен нулю.
• Мы видим, что функция не определена в этих точках, и она стремится к $+\infty$ при приближении к $\frac{\pi}{2}$ справа и к $-\infty$ при приближении к $\frac{3\pi}{2}$ слева.

Функция непрерывна на интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right)$, но не имеет наибольшего и наименьшего значения, так как:

• При $x \to \frac{\pi}{2}^{+}$ функция стремится к $+\infty$.
• При $x \to \frac{3\pi}{2}^{-}$ функция стремится к $-\infty$.

Таким образом, на этом интервале наибольшее и наименьшее значение не существуют.

Ответ: $y_{\text{наим}} = \text{нет}$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.

б) Интервал $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$

• На данном интервале разрывов нет, так как косинус не равен нулю ни в одной точке этого интервала.
• Рассмотрим значения функции на концах интервала:
  • $y \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \tan \frac{3\pi}{4} = -1$.
  • $y(\pi) = \tan \pi = 0$.

Так как функция $\tan x$ непрерывна на интервале, и значения функции на концах интервала равны $-1$ и $0$, а тангенс монотонно возрастает на промежутке $\left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right]$, наибольшее значение будет на правом конце, а наименьшее — на левом.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 0$.

в) Интервал $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right]$

• На данном интервале также нет разрывов, так как косинус не равен нулю ни в одной из точек.
• Рассмотрим значения функции на концах интервала:
  • $y \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.
  • $y \left( \frac{\pi}{6} \right) = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Функция $\tan x$ возрастает на данном интервале, так как её производная $\sec^2 x$ положительна. Следовательно, наибольшее значение будет на правом конце интервала, а наименьшее — на левом.

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

г) Интервал $\left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

• Разрыв функции происходит в точке $x = \frac{3\pi}{2}$, так как косинус в этой точке равен нулю.
• Рассмотрим значение функции в точке $\pi$:
  • $y(\pi) = \tan \pi = 0$.

Так как на этом интервале функция монотонно возрастает, наименьшее значение будет в точке $x = \pi$, а наибольшее значение не существует, так как функция стремится к $+\infty$ при приближении к $\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.

Итоговые ответы:

• а) $y_{\text{наим}} = \text{нет}$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.
• б) $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 0$.
• в) $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
• г) $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = \text{нет}$.