ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ на заданном промежутке:

а) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

в) На интервале $(- \pi; 0)$;

г) На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$:

а) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1;$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \pi$;

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 0$.

в) На интервале $(- \pi; 0)$;

Функция имеет разрывы в точках $x_1 = -\pi$ и $x_2 = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3};$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\cos \frac{3\pi}{4}}{\sin \frac{3\pi}{4}} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) : \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{3}$.

Общие замечания по функции $\operatorname{ctg} x$

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является котангенсом угла $x$. Она является обратной функцией для тангенса:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Котангенс имеет вертикальные асимптоты в точках $x = n\pi$ (где $n$ — целое число), так как в этих точках синус становится равным нулю, и значение функции стремится к бесконечности. На промежутке между асимптотами котангенс изменяет свои значения от $+\infty$ до $-\infty$.

Теперь подробно разберем каждый из промежутков.

а) На отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

1. Проверка на разрывы:

Функция $\operatorname{ctg} x$ не имеет разрывов на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, так как на этом интервале синус не равен нулю, и вертикальных асимптот нет.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка:

В точке $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{4}$ равно 1.

В точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 0.

3. Поведение функции на интервале:

• Функция $\operatorname{ctg} x$ монотонно убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, так как производная $\frac{d}{dx} \operatorname{ctg} x = -\operatorname{cosec}^2 x$ всегда отрицательна на этом интервале.
• Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале будет в точке $x = \frac{\pi}{2}$, а наибольшее — в точке $x = \frac{\pi}{4}$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 1.$$

б) На полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

1. Проверка на разрывы:

• Функция имеет разрыв в точке $x = \pi$, так как в этой точке $\sin x = 0$, и функция стремится к бесконечности.

2. Вычислим значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 0.

3. Поведение функции на интервале:

• Поскольку разрыв функции в точке $x = \pi$, а $\operatorname{ctg} x \to -\infty$ при $x \to \pi^-$, мы можем сказать, что на полуинтервале $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ функция стремится к $-\infty$ на правой границе.
• Следовательно, наименьшее значение функции на полуинтервале не существует, так как функция стремится к бесконечности (не ограничена снизу).

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}, \quad y_{\text{наиб}} = 0.$$

в) На интервале $(- \pi; 0)$

1. Проверка на разрывы:

• Функция $\operatorname{ctg} x$ имеет разрывы в точках $x = -\pi$ и $x = 0$, так как в этих точках синус равен нулю.

2. Поведение функции на интервале:

• Между точками разрыва функция $\operatorname{ctg} x$ изменяется от $+\infty$ до $-\infty$, но из-за разрывов на концах интервала мы не можем определить точные наименьшие и наибольшие значения на этом интервале.
• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу на этом интервале, так как она стремится к бесконечности в обеих точках разрыва.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}, \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}.$$

г) На отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$

1. Проверка на разрывы:

Функция $\operatorname{ctg} x$ не имеет разрывов на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$, так как на этом промежутке синус не равен нулю, и вертикальных асимптот нет.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка:

В точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.

В точке $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\cos \frac{3\pi}{4}}{\sin \frac{3\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1.$$

Значение функции в точке $x = \frac{3\pi}{4}$ равно $-1$.

3. Поведение функции на интервале:

• Функция $\operatorname{ctg} x$ монотонно убывает на интервале $\left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$, так как производная $\frac{d}{dx} \operatorname{ctg} x = -\operatorname{cosec}^2 x$ всегда отрицательна на этом интервале.
• Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале будет в точке $x = \frac{3\pi}{4}$, а наибольшее — в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -1, \quad y_{\text{наиб}} = \sqrt{3}.$$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 1$

б) $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 0$

в) $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет

г) $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = \sqrt{3}$