ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $\mathrm{ctg}x=0$

а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{\pi}{4}$;

Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,57$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{\pi}{3}$;

Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0,57$:

Графики пересекаются в точке: $x = \frac{2\pi}{3}$;

Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x = 0$;

Построим график функции $y = \operatorname{ctg} x$:

График пересекает ось абсцисс в точке: $x = \frac{\pi}{2}$;

Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) $\operatorname{ctg} x = 1$

1) Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ представляет собой график котангенса. Котангенс — это обратная функция к тангенсу, то есть:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}$$

График функции $\operatorname{ctg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число, так как в этих точках тангенс обращается в ноль, а котангенс становится неограниченно большим.

Параллельно, $y = 1$ — это прямая линия, которая будет пересекать график функции котангенса в точках, где значения функции равны 1.

2) Графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{4}$

Чтобы найти точку пересечения графиков, решим уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = 1$$

Преобразуем это уравнение:

$$\frac{1}{\tan x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \tan x = 1$$

Решение уравнения $\tan x = 1$ на интервале $0 \leq x < 2\pi$ даёт:

$$x = \frac{\pi}{4} \quad \text{(основное решение)}.$$

Однако тангенс повторяет свои значения с периодом $\pi$, поэтому общее решение имеет вид:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.$$

3) Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$

Так как котангенс имеет период $\pi$, то расстояние между соседними точками пересечения графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ и прямой $y = 1$ будет равно $\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.

б) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

1) Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,57$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ мы уже разобрали. Теперь добавим прямую $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$, которая представляет собой горизонтальную линию, примерно равную 0,57.

2) Графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{3}$

Чтобы найти точку пересечения, решим уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Преобразуем это уравнение:

$$\frac{1}{\tan x} = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad \tan x = \sqrt{3}.$$

Решение уравнения $\tan x = \sqrt{3}$ на интервале $0 \leq x < 2\pi$ даёт:

$$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{(основное решение)}.$$

Так как тангенс повторяет свои значения с периодом $\pi$, общее решение:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.$$

3) Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$

Как и в предыдущем случае, период функции котангенса равен $\pi$, поэтому расстояние между соседними точками пересечения будет равно $\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

1) Построим графики функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0,57$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ будет как и раньше, а теперь добавим прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, которая будет иметь значение примерно -0,57.

2) Графики пересекаются в точке $x = \frac{2\pi}{3}$

Решим уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Преобразуем его:

$$\frac{1}{\tan x} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad \tan x = -\sqrt{3}.$$

Решение уравнения $\tan x = -\sqrt{3}$ на интервале $0 \leq x < 2\pi$ даёт:

$$x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{(основное решение)}.$$

Общее решение, учитывая период тангенса, будет:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.$$

3) Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$

Период функции котангенса равен $\pi$, поэтому расстояние между соседними точками пересечения будет равно $\pi$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

г) $\operatorname{ctg} x = 0$

1) Построим график функции $y = \operatorname{ctg} x$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число. График функции будет стремиться к бесконечности в этих точках и переходить через ноль в точках, где $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.

2) График пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{\pi}{2}$

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = 0.$$

Это уравнение эквивалентно:

$$\tan x = \infty \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$$

Таким образом, первое решение:

$$x = \frac{\pi}{2}.$$

Общее решение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.$$

3) Расстояние между соседними точками пересечения равно $\pi$

Как и в предыдущих случаях, период котангенса равен $\pi$, поэтому расстояние между соседними точками пересечения будет равно $\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.