ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию у — f(x) на четность, если:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$;

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$;

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$;
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) — \cos(-x) = -\operatorname{tg} x — \cos x$;
Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$;
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x) = -\operatorname{tg} x — x = -( \operatorname{tg} x + x ) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$;
$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) — (-x)^4 = ( -\operatorname{ctg} x )^2 — x^4 = \operatorname{ctg}^2 x — x^4 = f(x)$;
Ответ: четная.

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$;
$f(-x) = (-x)^3 — \operatorname{ctg}(-x) = -x^3 + \operatorname{ctg} x = -( x^3 — \operatorname{ctg} x ) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

Функция называется четной, если выполняется условие:
$f(-x) = f(x) \, \text{для всех} \, x.$
Функция называется нечетной, если выполняется условие:
$f(-x) = -f(x) \, \text{для всех} \, x.$
Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция нечетная и нечетная.

а) $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$

Шаг 1. Найдем $f(-x)$:
Для того чтобы исследовать функцию на четность, необходимо вычислить $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) — \cos(-x)$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ (так как $\operatorname{tg}(x)$ — нечетная функция),
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (так как $\cos(x)$ — четная функция).

Таким образом:

$$f(-x) = -\operatorname{tg}(x) — \cos(x)$$

Шаг 2. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$$f(x) = \operatorname{tg}(x) — \cos(x)$$ $$f(-x) = -\operatorname{tg}(x) — \cos(x)$$

Из этого видно, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$.

Ответ: функция $f(x) = \operatorname{tg} x — \cos x$ ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + x$

Шаг 1. Найдем $f(-x)$:
Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)$$

• $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ (так как $\operatorname{tg}(x)$ — нечетная функция),
• $-x = -x$ (это просто).

Таким образом:

$$f(-x) = -\operatorname{tg}(x) — x$$

Шаг 2. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$$f(x) = \operatorname{tg}(x) + x$$ $$f(-x) = -\operatorname{tg}(x) — x$$

Является ли $f(-x) = -f(x)$?

$$— f(x) = — (\operatorname{tg}(x) + x) = -\operatorname{tg}(x) — x$$

Действительно, $f(-x) = -f(x)$.

Ответ: функция $f(x) = \operatorname{tg} x + x$ нечетная.

в) $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$

Шаг 1. Найдем $f(-x)$:
Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(-x) — (-x)^4$$

• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (так как $\operatorname{ctg}(x)$ — нечетная функция),
• $(-x)^4 = x^4$ (так как степень четная, результат не зависит от знака).

Таким образом:

$$f(-x) = (-\operatorname{ctg}(x))^2 — x^4 = \operatorname{ctg}^2(x) — x^4$$

Шаг 2. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$$f(x) = \operatorname{ctg}^2(x) — x^4$$ $$f(-x) = \operatorname{ctg}^2(x) — x^4$$

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, то есть функция четная.

Ответ: функция $f(x) = \operatorname{ctg}^2 x — x^4$ четная.

г) $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$

Шаг 1. Найдем $f(-x)$:
Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^3 — \operatorname{ctg}(-x)$$

• $(-x)^3 = -x^3$ (так как степень нечетная),
• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (так как $\operatorname{ctg}(x)$ — нечетная функция).

Таким образом:

$$f(-x) = -x^3 + \operatorname{ctg}(x)$$

Шаг 2. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$$f(x) = x^3 — \operatorname{ctg}(x)$$ $$f(-x) = -x^3 + \operatorname{ctg}(x)$$

Является ли $f(-x) = -f(x)$?

$$— f(x) = — (x^3 — \operatorname{ctg}(x)) = -x^3 + \operatorname{ctg}(x)$$

Действительно, $f(-x) = -f(x)$.

Ответ: функция $f(x) = x^3 — \operatorname{ctg} x$ нечетная.

Итоговые ответы:

а) ни четная, ни нечетная.

б) нечетная.

в) четная.

г) нечетная.