ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию у — f(x) на четность, если:

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$;

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$;

в) $f(x) = \frac{x^4 \cdot \operatorname{ctg} x}{x^2 — 4}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x — x \cdot \cos x$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$;
$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$;
$f(-x) = -\sin x — \operatorname{ctg} x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$;
$f(-x) = \frac{2 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3} = \frac{-2 \operatorname{ctg} x}{-x^3} = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3} = f(x)$;
Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{x^4 \cdot \operatorname{ctg} x}{x^2 — 4}$;
$f(-x) = \frac{(-x)^4 \cdot \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^4 \cdot (-\operatorname{ctg} x)}{x^2 — 4} = -\frac{x^4 \cdot \operatorname{ctg} x}{x^2 — 4} = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x — x \cdot \cos x$;
$f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) — (-x) \cdot \cos(-x)$;
$f(-x) = -\operatorname{ctg} x + x \cos x = -(\operatorname{ctg} x — x \cos x) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$

Нам нужно проверить, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим. Для этого используем определение четности и нечетности функций.

Определение четности функции:

• Функция называется четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Определение нечетности функции:

• Функция называется нечетной, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Проверим, является ли функция $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$ четной или нечетной.

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$$

Используем свойства синуса и котангенса:

• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция),
• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (котангенс — нечетная функция).

Таким образом:

$$f(-x) = -\sin(x) — \operatorname{ctg}(x)$$

Проверим, является ли $f(-x)$ противоположной $f(x)$:

$$f(-x) = -(\sin(x) + \operatorname{ctg}(x)) = -f(x)$$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$, что означает, что функция $f(x)$ является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$

Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{2 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3}$$

Используем свойства котангенса и степени:

• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (котангенс — нечетная функция),
• $(-x)^3 = -x^3$ (степень нечётная).

Подставим:

$$f(-x) = \frac{2(-\operatorname{ctg}(x))}{-x^3} = \frac{-2 \operatorname{ctg}(x)}{-x^3} = \frac{2 \operatorname{ctg}(x)}{x^3}$$

Проверим, является ли $f(-x)$ равным $f(x)$:

$$f(-x) = f(x)$$

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$, что означает, что функция $f(x)$ является четной.

Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{x^4 \cdot \operatorname{ctg} x}{x^2 — 4}$

Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{(-x)^4 \cdot \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 — 4}$$

Используем свойства степени и котангенса:

• $(-x)^4 = x^4$ (степень четная),
• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (котангенс — нечетная функция),
• $(-x)^2 = x^2$ (степень четная).

Подставим:

$$f(-x) = \frac{x^4 \cdot (-\operatorname{ctg}(x))}{x^2 — 4} = -\frac{x^4 \cdot \operatorname{ctg}(x)}{x^2 — 4}$$

Проверим, является ли $f(-x)$ противоположной $f(x)$:

$$f(-x) = -f(x)$$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$, что означает, что функция $f(x)$ является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x — x \cdot \cos x$

Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) — (-x) \cdot \cos(-x)$$

Используем свойства котангенса и косинуса:

• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$ (котангенс — нечетная функция),
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция).

Подставим:

$$f(-x) = -\operatorname{ctg}(x) + x \cdot \cos(x)$$

Проверим, является ли $f(-x)$ противоположной $f(x)$:

$$f(-x) = -(\operatorname{ctg}(x) — x \cdot \cos(x)) = -f(x)$$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$, что означает, что функция $f(x)$ является нечетной.

Ответ: нечетная.

Итоговые ответы:

а) нечетная

б) четная

в) нечетная

г) нечетная