ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите основной период функции:

а) у = tgx + sin2x — tgЗх — cos4x;

б) у = sinЗх + cos5x + ctgx — 2tg2x.

Основным периодом функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является число $2\pi$;
Основным периодом функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ является число $\pi$.

а) $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x$;

Период первой функции:
$\operatorname{tg}(x + T_1) = \operatorname{tg} x;$
$T_1 = \pi;$

Период второй функции:
$\sin 2(x + T_2) = \sin 2x;$
$\sin(2x + 2T_2) = \sin 2x;$
$2T_2 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T_2 = \pi;$

Период третьей функции:
$\operatorname{tg} 3(x + T_3) = \operatorname{tg} 3x;$
$\operatorname{tg}(3x + 3T_3) = \operatorname{tg} 3x;$
$3T_3 = \pi \quad \Rightarrow \quad T_3 = \frac{\pi}{3};$

Период четвертой функции:
$\cos 4(x + T_4) = \cos 4x;$
$\cos(4x + 4T_4) = \cos 4x;$
$4T_4 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T_4 = \frac{\pi}{2};$

Общий основной период:
$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3, T_4) = \pi;$

Ответ: $T = \pi$.

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$;

Период первой функции:
$\sin 3(x + T_1) = \sin 3x;$
$\sin(3x + 3T_1) = \sin 3x;$
$3T_1 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{2\pi}{3};$

Период второй функции:
$\cos 5(x + T_2) = \cos 5x;$
$\cos(5x + 5T_2) = \cos 5x;$
$5T_2 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T_2 = \frac{2\pi}{5};$

Период третьей функции:
$\operatorname{ctg}(x + T_3) = \operatorname{ctg} x;$
$T_3 = \pi;$

Период четвертой функции:
$\operatorname{tg} 2(x + T_4) = \operatorname{tg} 2x;$
$\operatorname{tg}(2x + 2T_4) = \operatorname{tg} 2x;$
$2T_4 = \pi \quad \Rightarrow \quad T_4 = \frac{\pi}{2};$

Общий основной период:
$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3, T_4) = 2\pi;$

Ответ: $T = 2\pi$.

Основным периодом функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является число $2\pi$, так как $\sin x$ и $\cos x$ повторяются через каждые $2\pi$.
Основным периодом функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ является число $\pi$, так как $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ повторяются через каждые $\pi$.

Теперь рассмотрим каждую из данных функций более подробно.

Задание а) $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x — \operatorname{tg} 3x — \cos 4x$

Шаг 1: Период первой функции $\operatorname{tg} x$

Функция $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, так как:

$$\operatorname{tg}(x + T_1) = \operatorname{tg} x \quad \Rightarrow \quad T_1 = \pi.$$

Это базовое свойство функции тангенса, поскольку $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$ для любого $x$.

Шаг 2: Период второй функции $\sin 2x$

Рассмотрим функцию $\sin 2x$, которая имеет период $\pi$, так как:

$$\sin 2(x + T_2) = \sin 2x.$$

Это уравнение раскрывается как:

$$\sin(2x + 2T_2) = \sin 2x.$$

Чтобы функция повторялась, необходимо, чтобы $2T_2 = 2\pi$, откуда получаем:

$$T_2 = \pi.$$

Шаг 3: Период третьей функции $\operatorname{tg} 3x$

Рассмотрим функцию $\operatorname{tg} 3x$. Она зависит от $3x$, и период этой функции равен:

$$\operatorname{tg} 3(x + T_3) = \operatorname{tg} 3x.$$

Раскрываем это уравнение:

$$\operatorname{tg}(3x + 3T_3) = \operatorname{tg} 3x.$$

Для повторения функции $\operatorname{tg} 3x$ необходимо, чтобы $3T_3 = \pi$, откуда:

$$T_3 = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 4: Период четвертой функции $\cos 4x$

Рассмотрим функцию $\cos 4x$. Она зависит от $4x$, и период этой функции равен:

$$\cos 4(x + T_4) = \cos 4x.$$

Раскрываем уравнение:

$$\cos(4x + 4T_4) = \cos 4x.$$

Для повторения функции $\cos 4x$ необходимо, чтобы $4T_4 = 2\pi$, откуда:

$$T_4 = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 5: Общий основной период

Теперь, когда мы нашли периоды каждой из функций:

• $T_1 = \pi$ (для $\operatorname{tg} x$),
• $T_2 = \pi$ (для $\sin 2x$),
• $T_3 = \frac{\pi}{3}$ (для $\operatorname{tg} 3x$),
• $T_4 = \frac{\pi}{2}$ (для $\cos 4x$).

Общий период будет равен наименьшему общему кратному (НОК) всех найденных периодов:

$$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3, T_4) = \text{НОК}(\pi, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}).$$

Для нахождения НОК сначала преобразуем выражения в виде дробей:

• $T_1 = \pi = \frac{3\pi}{3}$,
• $T_2 = \pi = \frac{3\pi}{3}$,
• $T_3 = \frac{\pi}{3}$,
• $T_4 = \frac{\pi}{2}$.

НОК этих значений — это $\pi$, так как наименьшее общее кратное для чисел 3, 3, 1 и 2 — это 3. То есть:

$$T = \pi.$$

Ответ: $T = \pi$.

Задание б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x — 2 \operatorname{tg} 2x$

Шаг 1: Период первой функции $\sin 3x$

Рассмотрим функцию $\sin 3x$. Период этой функции равен:

$$\sin 3(x + T_1) = \sin 3x.$$

Раскрываем это уравнение:

$$\sin(3x + 3T_1) = \sin 3x.$$

Чтобы функция повторялась, необходимо, чтобы $3T_1 = 2\pi$, откуда:

$$T_1 = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 2: Период второй функции $\cos 5x$

Рассмотрим функцию $\cos 5x$. Период этой функции равен:

$$\cos 5(x + T_2) = \cos 5x.$$

Раскрываем уравнение:

$$\cos(5x + 5T_2) = \cos 5x.$$

Для повторения функции $\cos 5x$ необходимо, чтобы $5T_2 = 2\pi$, откуда:

$$T_2 = \frac{2\pi}{5}.$$

Шаг 3: Период третьей функции $\operatorname{ctg} x$

Функция $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, так как:

$$\operatorname{ctg}(x + T_3) = \operatorname{ctg} x \quad \Rightarrow \quad T_3 = \pi.$$

Шаг 4: Период четвертой функции $\operatorname{tg} 2x$

Рассмотрим функцию $\operatorname{tg} 2x$. Период этой функции равен:

$$\operatorname{tg} 2(x + T_4) = \operatorname{tg} 2x.$$

Раскрываем это уравнение:

$$\operatorname{tg}(2x + 2T_4) = \operatorname{tg} 2x.$$

Для повторения функции $\operatorname{tg} 2x$ необходимо, чтобы $2T_4 = \pi$, откуда:

$$T_4 = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 5: Общий основной период

Теперь, когда мы нашли периоды каждой из функций:

• $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ (для $\sin 3x$),
• $T_2 = \frac{2\pi}{5}$ (для $\cos 5x$),
• $T_3 = \pi$ (для $\operatorname{ctg} x$),
• $T_4 = \frac{\pi}{2}$ (для $\operatorname{tg} 2x$).

Общий период будет равен наименьшему общему кратному (НОК) всех найденных периодов:

$$T = \text{НОК}(T_1, T_2, T_3, T_4) = \text{НОК}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}, \pi, \frac{\pi}{2}\right).$$

Приводим все выражения к общему знаменателю:

• $T_1 = \frac{2\pi}{3}$,
• $T_2 = \frac{2\pi}{5}$,
• $T_3 = \pi = \frac{5\pi}{5}$,
• $T_4 = \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$.

Найдем НОК чисел 3, 5, 5 и 10. НОК этих чисел равен 10, так что общий период будет:

$$T = \frac{10\pi}{10} = 2\pi.$$

Ответ: $T = 2\pi$.