ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2 \operatorname{tg} x$;

б) $y = -0,5 \operatorname{ctg} x$;

в) $y = \operatorname{tg} 2x$;

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$

а) $y = 2 \operatorname{tg} x$;

Построим главную ветвь функции $y = \operatorname{tg} x$;

Растянем ее от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

б) $y = -0,5 \operatorname{ctg} x$;

Построим главную ветвь функции $y = -\operatorname{ctg} x$;

Сожмем ее к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$;

Достроим график функции:

в) $y = \operatorname{tg} 2x$;

Построим главную ветвь функции $y = \operatorname{tg} x$;

Сожмем ее к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Основной период функции:

$$\operatorname{tg} 2(x + T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\operatorname{tg}(2x + 2T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$2T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{\pi}{2};$$

Достроим график функции:

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$;

Построим главную ветвь функции $y = \operatorname{ctg} x$;

Растянем ее от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Основной период функции:

$$\operatorname{ctg} \frac{x + T}{2} = \operatorname{ctg} \frac{x}{2};$$ $$\operatorname{ctg} \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}T \right) = \operatorname{ctg} \frac{x}{2};$$ $$\frac{1}{2}T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi;$$

Достроим график функции:

а) $y = 2 \operatorname{tg} x$

1) Построение главной ветви функции $y = \operatorname{tg} x$

График функции $y = \operatorname{tg} x$ — это стандартная тангенсоида. Эта функция имеет следующие ключевые свойства:

• Асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Период $T = \pi$.
• Центр (точка пересечения с осью $y$) в точке $x = 0$, где $\operatorname{tg}(0) = 0$.

2) Растяжение функции от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Когда мы умножаем функцию на коэффициент $2$, это вызывает растяжение графика функции по оси $y$. То есть, значения функции на каждой точке увеличиваются в два раза, а сама функция становится «выше», но сохраняет свои асимптоты и период.

Математически это выражается как:

$$y = 2 \operatorname{tg} x.$$

Если $\operatorname{tg}(x) = a$, то $2 \operatorname{tg}(x) = 2a$. Это увеличение амплитуды функции.

3) Достроим график функции

б) $y = -0,5 \operatorname{ctg} x$

1) Построение главной ветви функции $y = -\operatorname{ctg} x$

График функции $y = \operatorname{ctg} x$ имеет следующие особенности:

• Асимптоты в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Период функции $T = \pi$.
• График начинает падение с $+\infty$ при $x = 0$ и стремится к $-\infty$ при $x = \pi$.

Когда перед функцией появляется минус, то график переворачивается. Это значит, что функция будет стремиться к $+\infty$ в точке $x = 0$ и к $-\infty$ в точке $x = \pi$, но с противоположным направлением. То есть, функция меняет свой «наклон».

2) Сжатие функции к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$

Когда мы умножаем функцию на коэффициент $-0,5$, это приводит к сжатию графика функции по оси $x$. Коэффициент $k = 2$ фактически означает, что вертикальная амплитуда функции уменьшится в два раза, а график будет сжат по вертикали, но асимптоты останутся на тех же местах.

Математически это можно выразить как:

$$y = -0,5 \operatorname{ctg} x.$$

3) Достроим график функции

в) $y = \operatorname{tg} 2x$

1) Построение главной ветви функции $y = \operatorname{tg} x$

Как и в предыдущих примерах, функция $\operatorname{tg} x$ — это стандартная тангенсоида. Она имеет:

• Период $T = \pi$,
• Асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$,
• Центр в точке $x = 0$, где $\operatorname{tg}(0) = 0$.

2) Сжатие функции к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Умножение аргумента функции $\operatorname{tg}(x)$ на $2$ изменяет период функции. Если обычная функция $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, то функция $\operatorname{tg}(2x)$ будет иметь период:

$$T = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, функция будет «сжата» по оси $x$, и график будет повторяться дважды быстрее.

3) Основной период функции

Для функции $y = \operatorname{tg} 2x$ период изменяется следующим образом:

$$\operatorname{tg} 2(x + T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\operatorname{tg}(2x + 2T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$2T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{\pi}{2}.$$

То есть период сокращается в два раза, и функция будет повторяться за $\frac{\pi}{2}$.

4) Достроим график функции

г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$

1) Построение главной ветви функции $y = \operatorname{ctg} x$

Как и раньше, функция $\operatorname{ctg} x$ имеет:

• Период $T = \pi$,
• Асимптоты в точках $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$,
• Центр в точке $x = 0$.

2) Растяжение функции от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$

Когда аргумент функции делится на 2, это приводит к растяжению графика по оси $x$. То есть, функция будет «растянута» по оси $x$, и её период увеличится в два раза. В этом случае период функции станет $2\pi$.

Математически это можно записать как:

$$y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}.$$

3) Основной период функции

Для функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$ период изменяется следующим образом:

$$\operatorname{ctg} \frac{x + T}{2} = \operatorname{ctg} \frac{x}{2};$$ $$\operatorname{ctg} \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}T \right) = \operatorname{ctg} \frac{x}{2};$$ $$\frac{1}{2}T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi.$$

Таким образом, период функции увеличился в два раза, и теперь функция будет повторяться на интервале $2\pi$.

4) Достроим график функции