ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте заданную функцию на монотонность:

а) $y = 2 \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{3} \right) + 1$

б) $y = \operatorname{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) — 2$

в) $y = -\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) — 3$

г) $y=-2\mathrm{ctg}(x-\frac{\pi }{6})+1,5$

Исследовать заданную функцию на монотонность:

а) $y = 2 \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{3} \right) + 1$

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Значит данная функция возрастает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$.

б) $y = \operatorname{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) — 2$

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на промежутках:

$$\pi n < x < \pi + \pi n;$$

Значит данная функция убывает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: убывает на $\left( -\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$.

в) $y = -\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) — 3$

Функция $y = -\operatorname{tg} x$ убывает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Значит данная функция убывает на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: убывает на $\left( -\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$.

г) $y = -2 \operatorname{ctg} \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1,5$

Функция $y = -\operatorname{ctg} x$ возрастает на промежутках:

$$\pi n < x < \pi + \pi n;$$

Значит данная функция возрастает на промежутках:

$$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{7\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: возрастает на $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{7\pi}{6} + \pi n \right)$.

а) $y = 2 \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{3} \right) + 1$

1) Исследуем монотонность функции $y = \operatorname{tg} x$

Функция $y = \operatorname{tg} x$ — это стандартная тангенсоида. Основные свойства функции $\operatorname{tg} x$:

• Она возрастает на каждом промежутке $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты функции $\operatorname{tg} x$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Тангенсоида возрастает на промежутке от $-\frac{\pi}{2} + \pi n$ до $\frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть на каждом интервале, ограниченном асимптотами.

2) Сдвиг функции по оси $x$

В функции $y = 2 \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{3} \right) + 1$ у нас присутствует сдвиг по оси $x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Это значит, что точка пересечения графика с осью $x$ смещается вправо на $\frac{\pi}{3}$, но сама форма графика не меняется, только его расположение.

Таким образом, функция $2 \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$ будет возрастать на промежутках:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

3) Упростим выражение

Приводим дроби:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ: Функция возрастает на промежутке $\left( -\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n \right)$.

б) $y = \operatorname{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) — 2$

1) Исследуем монотонность функции $y = \operatorname{ctg} x$

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ — это котангенс. Основные свойства функции $\operatorname{ctg} x$:

• Она убывает на каждом промежутке $\left( \pi n, \pi + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты функции $\operatorname{ctg} x$ находятся в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

Таким образом, котангенс убывает на интервале от $\pi n$ до $\pi + \pi n$.

2) Сдвиг функции по оси $x$

В функции $y = \operatorname{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) — 2$ присутствует сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево. Это сдвигает график функции на $\frac{\pi}{3}$ влево, но не изменяет форму графика.

Следовательно, функция $\operatorname{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ будет убывать на промежутках:

$$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

3) Упростим выражение

Приводим дроби:

$$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n.$$

Ответ: Функция убывает на промежутке $\left( -\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$.

в) $y = -\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) — 3$

1) Исследуем монотонность функции $y = -\operatorname{tg} x$

Функция $y = -\operatorname{tg} x$ является инверсией стандартной функции тангенса. Стандартная функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастала на промежутке $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, а $y = -\operatorname{tg} x$ будет убывать на этом же промежутке.

Таким образом, функция $y = -\operatorname{tg} x$ убывает на промежутке $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$.

2) Сдвиг функции по оси $x$

В функции $y = -\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ есть сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ влево. Это сдвигает график функции на $\frac{\pi}{4}$ влево.

Следовательно, функция $-\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ будет убывать на промежутке:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

3) Упростим выражение

Приводим дроби:

$$-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ: Функция убывает на промежутке $\left( -\frac{3\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$.

г) $y = -2 \operatorname{ctg} \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1,5$

1) Исследуем монотонность функции $y = -\operatorname{ctg} x$

Функция $y = -\operatorname{ctg} x$ является инверсией стандартной функции котангенса. Стандартная функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на промежутке $\left( \pi n, \pi + \pi n \right)$, а $y = -\operatorname{ctg} x$ будет возрастать на этом промежутке.

Таким образом, функция $y = -\operatorname{ctg} x$ возрастает на промежутке $\left( \pi n, \pi + \pi n \right)$.

2) Сдвиг функции по оси $x$

В функции $y = -2 \operatorname{ctg} \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$ есть сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ вправо. Это сдвигает график функции на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Следовательно, функция $-2 \operatorname{ctg} \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$ будет возрастать на промежутке:

$$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

3) Упростим выражение

Приводим дроби:

$$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{7\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ: Функция возрастает на промежутке $\left( \frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{7\pi}{6} + \pi n \right)$.