ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\operatorname{tg} x \leq 1$;

б) $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$;

в) $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $\mathrm{ctg}x\le -1$

а) $\operatorname{tg} x \leq 1$;

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$;

Равенство выполняется при:

$$\operatorname{tg} x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$;

Функция убывает на $(\pi n; \pi + \pi n)$;

Равенство выполняется при:

$$\operatorname{ctg} x = \sqrt{3};$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$;

Равенство выполняется при:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$\operatorname{tg}(-x) = \frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x \leq -1$;

Функция убывает на $(\pi n; \pi + \pi n)$;

Равенство выполняется при:

$$\operatorname{ctg} x = -1;$$ $$\operatorname{ctg}(-x) = 1;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \leq x < \pi + \pi n$.

а) $\operatorname{tg} x \leq 1$

1) Монотонность функции $\operatorname{tg} x$

• Функция $\operatorname{tg} x$ — это тангенс, который возрастает на интервалах $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Следовательно, $\operatorname{tg} x$ монотонна (возрастает) на каждом интервале вида $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$.

2) Условие $\operatorname{tg} x \leq 1$

• Рассмотрим, когда тангенс равен 1. Это происходит, когда:

  $$\operatorname{tg} x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• На промежутке $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$ функция $\operatorname{tg} x$ принимает значения от $-\infty$ до 1.
• Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg} x \leq 1$ будет на интервале:

  $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

3) Ответ:

• Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$

1) Монотонность функции $\operatorname{ctg} x$

• Функция $\operatorname{ctg} x$ — это котангенс, который убывает на интервалах $\left( \pi n; \pi + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Следовательно, $\operatorname{ctg} x$ монотонна (убывает) на каждом интервале вида $\left( \pi n; \pi + \pi n \right)$.

2) Условие $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$

• Рассмотрим, когда котангенс равен $\sqrt{3}$. Это происходит, когда:

  $$\operatorname{ctg} x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• На промежутке $\pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$ функция $\operatorname{ctg} x$ принимает значения от $+\infty$ до $\sqrt{3}$.
• Таким образом, решение неравенства $\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$ будет на интервале:

  $$\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

3) Ответ:

• Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$

1) Монотонность функции $\operatorname{tg} x$

• Как и в предыдущем случае, функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на интервалах $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Условие $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$

• Рассмотрим, когда тангенс равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это происходит, когда:

  $$\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Так как $\operatorname{tg} x$ возрастает, решение неравенства $\operatorname{tg} x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$ будет на интервале:

  $$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

3) Ответ:

• Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

г) $\operatorname{ctg} x \leq -1$

1) Монотонность функции $\operatorname{ctg} x$

• Как и в предыдущем примере, функция $\operatorname{ctg} x$ убывает на интервалах $\left( \pi n; \pi + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Условие $\operatorname{ctg} x \leq -1$

• Рассмотрим, когда котангенс равен $-1$. Это происходит, когда:

  $$\operatorname{ctg} x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Так как $\operatorname{ctg} x$ убывает, решение неравенства $\operatorname{ctg} x \leq -1$ будет на интервале:

  $$\frac{3\pi}{4} + \pi n \leq x < \pi + \pi n.$$

3) Ответ:

• Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \leq x < \pi + \pi n$.