ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследцйте функцию $f(x)$ на четность, если:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$;

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$;

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$;

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$;

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) \cdot \sin^2(-x) = -\operatorname{tg} x \cdot (-\sin x)^2 = -\operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x = -f(x);$$

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$;

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2(-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{(-\operatorname{tg} x)^2}{x^2 — 1} = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1} = f(x);$$

Ответ: четная.

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$;

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \operatorname{tg}(-x) = -x^5 \cdot (-\operatorname{tg} x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x = f(x);$$

Ответ: четная.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$;

$$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x) = x^2 — \sin x — \operatorname{tg} x;$$

Ответ: ни четная, ни нечетная.

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x$

Шаг 1: Определение четности функции

Для того чтобы выяснить, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим, необходимо рассмотреть, как ведет себя функция при подстановке $-x$ вместо $x$. Рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) \cdot \sin^2(-x)$$

Шаг 2: Применение свойств тригонометрических функций

1. Свойство функции тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, так как тангенс — нечетная функция.
2. Свойство функции синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$, так как синус — нечетная функция. Таким образом, $\sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$, так как квадрат синуса не зависит от знака.

Шаг 3: Подставим эти свойства

Теперь подставим полученные значения в выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) \cdot \sin^2(-x) = -\operatorname{tg}(x) \cdot \sin^2(x)$$

Это можно записать как:

$$f(-x) = — \left( \operatorname{tg}(x) \cdot \sin^2(x) \right) = -f(x)$$

Шаг 4: Вывод

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 — 1}$

Шаг 1: Определение четности функции

Для проверки четности функции рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2(-x)}{(-x)^2 — 1}$$

Шаг 2: Применение свойств тригонометрических функций

1. Свойство функции тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, но так как мы возводим тангенс в квадрат, то $\operatorname{tg}^2(-x) = \operatorname{tg}^2(x)$, потому что квадрат любого числа не зависит от знака.
2. $(-x)^2 = x^2$, так что знаменатель остается неизменным: $(-x)^2 — 1 = x^2 — 1$.

Шаг 3: Подставим эти значения

Теперь подставим эти выражения в $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}^2(-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{\operatorname{tg}^2(x)}{x^2 — 1} = f(x)$$

Шаг 4: Вывод

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $f(x) = x^5 \cdot \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Определение четности функции

Для проверки четности функции рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \operatorname{tg}(-x)$$

Шаг 2: Применение свойств тригонометрических функций

1. Свойство функции тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, так как тангенс — нечетная функция.
2. $(-x)^5 = -x^5$, так как степень нечетная, и знак сохраняется.

Шаг 3: Подставим эти значения

Теперь подставим полученные выражения в $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \operatorname{tg}(-x) = -x^5 \cdot (-\operatorname{tg}(x)) = x^5 \cdot \operatorname{tg}(x)$$

Это означает, что:

$$f(-x) = f(x)$$

Шаг 4: Вывод

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Определение четности функции

Для проверки четности функции рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)$$

Шаг 2: Применение свойств тригонометрических функций

1. $(-x)^2 = x^2$, так как квадрат числа всегда положительный и не зависит от знака.
2. Свойство функции синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$, так как синус — нечетная функция.
3. Свойство функции тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, так как тангенс — нечетная функция.

Шаг 3: Подставим эти значения

Теперь подставим полученные выражения в $f(-x)$:

$$f(-x) = x^2 + \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x) = x^2 — \sin(x) — \operatorname{tg}(x)$$

Шаг 4: Вывод

Так как $f(-x) = x^2 — \sin(x) — \operatorname{tg}(x)$, то $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

Ответ: ни четная, ни нечетная.