ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Сколько целочисленных решений неравенства $\frac{4 — x}{x + 5} \geqslant 0$ удовлетворяют неравенству $1 + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi x}{2} \geqslant 0$?

б) Сколько целочисленных решений неравенства $5x + 36 \geqslant x^2$ удовлетворяют неравенству $4x^2 + 1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi x}{6} > 4x$?

а)

Решим первое неравенство:

$$\frac{4 — x}{x + 5} \geq 0;$$ $$\frac{x — 4}{x + 5} \leq 0;$$ $$(x + 5)(x — 4) \leq 0;$$ $$-5 < x \leq 4;$$

Решим второе неравенство:

$$1 + ctg^2 \frac{\pi x}{2} \geq 0;$$ $$ctg^2 \frac{\pi x}{2} \geq -1;$$ $$\frac{\pi x}{2} \neq \pi n;$$ $$x \neq 2n;$$

Подходящие значения:

$$-3; -1; 1; 3;$$

Ответ: 4.

б)

Решим первое неравенство:

$$5x + 36 \geq x^2;$$ $$x^2 — 5x — 36 \leq 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169, \text{ тогда }$$ $$x_1 = \frac{5 — 13}{2} = -4 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9;$$ $$(x + 4)(x — 9) \leq 0;$$ $$-4 \leq x \leq 9;$$

Решим второе неравенство:

$$4x^2 + 1 + tg^2 \frac{\pi x}{6} > 4x;$$ $$4x^2 — 4x + 1 > -tg^2 \frac{\pi x}{6};$$ $$(2x — 1)^2 > -\left(tg \frac{\pi x}{6}\right)^2;$$ $$\frac{\pi x}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq 6\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 3 + 6n;$$

Подходящие значения:

$$-4; -2; -1; 0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8;$$

Ответ: 11.

а) Первое неравенство

1. Рассмотрим неравенство:

$$\frac{4 — x}{x + 5} \geq 0$$

Для решения данного неравенства будем искать, при каких значениях $x$ выражение $\frac{4 — x}{x + 5}$ будет неотрицательным. Это выражение будет положительным или равным нулю, когда числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки или числитель равен нулю.

Шаг 1: Исследуем знаки числителя и знаменателя

• Числитель $4 — x$ равен нулю при $x = 4$.
• Знаменатель $x + 5$ равен нулю при $x = -5$.

Таким образом, мы получаем два ключевых значения для $x$: $x = -5$ и $x = 4$.

Шаг 2: Разбиваем числовую ось на интервалы

Числовая ось разбивается на три интервала:

• $(-\infty, -5)$
• $(-5, 4)$
• $(4, \infty)$

Теперь исследуем знак выражения $\frac{4 — x}{x + 5}$ на каждом интервале:

1. На интервале $(-\infty, -5)$, например, для $x = -6$:

   $$\frac{4 — (-6)}{-6 + 5} = \frac{10}{-1} = -10$$

   Это отрицательно, значит, на интервале $(-\infty, -5)$ выражение отрицательно.

2. На интервале $(-5, 4)$, например, для $x = 0$:

   $$\frac{4 — 0}{0 + 5} = \frac{4}{5}$$

   Это положительно, значит, на интервале $(-5, 4)$ выражение положительно.

3. На интервале $(4, \infty)$, например, для $x = 5$:

   $$\frac{4 — 5}{5 + 5} = \frac{-1}{10}$$

   Это отрицательно, значит, на интервале $(4, \infty)$ выражение отрицательно.

Шаг 3: Определяем, где выражение неотрицательно

• На интервале $(-5, 4)$ выражение положительно.
• На точке $x = 4$ числитель равен нулю, следовательно, выражение равно нулю.

Таким образом, решение первого неравенства:

$$-5 < x \leq 4$$

Второе неравенство

2. Рассмотрим неравенство:

$$1 + \cot^2 \left(\frac{\pi x}{2}\right) \geq 0$$

Используем стандартную формулу тригонометрической функции:

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

где $\csc^2 \theta \geq 0$ для всех значений $\theta$, поскольку это квадрат функции. Таким образом, неравенство всегда выполняется.

Шаг 1: Обратите внимание на область определения

Единственное ограничение возникает из-за того, что $\cot \theta$ не существует, когда $\sin \theta = 0$. Для $\cot \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ это происходит, когда:

$$\frac{\pi x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это дает условие:

$$x \neq 2n$$

Таким образом, решение второго неравенства:

$$x \neq 2n$$

Подходящие значения для первого и второго неравенств

Из первого неравенства $-5 < x \leq 4$, а из второго неравенства $x \neq 2n$. Значит, $x$ не должно быть целым числом, равным $2n$ (например, $x \neq -4, -2, 0, 2$).

Подходящие значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям:

$$-3; -1; 1; 3$$

Ответ: 4.

б) Первое неравенство

1. Рассмотрим неравенство:

$$5x + 36 \geq x^2$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 5x — 36 \leq 0$$

Решаем квадратное неравенство.

Шаг 1: Находим дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения $x^2 — 5x — 36 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 13}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = 9$$

Таким образом, корни уравнения — $x_1 = -4$ и $x_2 = 9$.

Шаг 2: Исследуем знаки произведения

Квадратное неравенство $(x + 4)(x — 9) \leq 0$ меняет знак на этих точках. Мы исследуем знак на интервалах:

• $(-\infty, -4)$
• $(-4, 9)$
• $(9, \infty)$

1. На интервале $(-\infty, -4)$ выбираем $x = -5$:

   $$(x + 4)(x — 9) = (-5 + 4)(-5 — 9) = (-1)(-14) = 14 > 0$$

   Здесь выражение положительно.

2. На интервале $(-4, 9)$ выбираем $x = 0$:

   $$(x + 4)(x — 9) = (0 + 4)(0 — 9) = 4 \cdot (-9) = -36 < 0$$

   Здесь выражение отрицательно.

3. На интервале $(9, \infty)$ выбираем $x = 10$:

   $$(x + 4)(x — 9) = (10 + 4)(10 — 9) = 14 \cdot 1 = 14 > 0$$

   Здесь выражение положительно.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

$$-4 \leq x \leq 9$$

Второе неравенство

2. Рассмотрим неравенство:

$$4x^2 + 1 + \tan^2 \left(\frac{\pi x}{6}\right) > 4x$$

Переносим все в одну сторону:

$$4x^2 — 4x + 1 > -\tan^2 \left(\frac{\pi x}{6}\right)$$

Так как $\tan^2 \theta \geq 0$, то неравенство всегда выполняется при условии, что выражение не приводит к делению на ноль.

Шаг 1: Находим значения, при которых тангенс не определён

$\tan \left(\frac{\pi x}{6}\right)$ не существует, если $\frac{\pi x}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это условие даёт:

$$x = 3 + 6n$$

Таким образом, $x \neq 3 + 6n$.

Подходящие значения для второго неравенства

Решение второго неравенства: $x \neq 3 + 6n$, что исключает такие значения, как $x = 3, 9, 15, \dots$.

Подходящие значения для первого и второго неравенств

Первое неравенство даёт интервал $-4 \leq x \leq 9$, второе исключает значения вида $3 + 6n$. Таким образом, подходящие значения:

$$-4; -2; -1; 0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8$$

Ответ: 11.