ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg} x$, доказать, что:

а) $f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0$;

б) $f(\pi — x) + f(5\pi + x) = 0$

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg} x$, доказать, что:

а) $f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0$;

$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x) = 0$;

$\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg}(-2x) = 0$;

$\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} 2x = 0$;

$0 = 0$;

Утверждение доказано.

б) $f(\pi — x) + f(5\pi + x) = 0$;

$\operatorname{tg}(\pi — x) + \operatorname{tg}(5\pi + x) = 0$;

$\operatorname{tg}(-x) + \operatorname{tg} x = 0$;

$-\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 0$;

$0 = 0$;

Утверждение доказано.

а) $f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0$

Дано: функция $f(x) = \operatorname{tg}(x)$.

Нам нужно доказать, что:

$$f(2x + 2\pi) + f(7\pi — 2x) = 0.$$

Шаг 1: Подставляем определения функции $f(x) = \operatorname{tg}(x)$.

Подставим $f(2x + 2\pi) = \operatorname{tg}(2x + 2\pi)$ и $f(7\pi — 2x) = \operatorname{tg}(7\pi — 2x)$ в левую часть выражения:

$$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x).$$

Шаг 2: Используем периодичность функции тангенса.

Функция тангенса обладает периодичностью с периодом $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}(x).$$

Поэтому:

$$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) = \operatorname{tg}(2x),$$

так как $2\pi$ — это кратное $\pi$.

Таким образом, выражение для левой части становится:

$$\operatorname{tg}(2x) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x).$$

Шаг 3: Применяем формулы для тангенса.

Мы знаем, что тангенс — это периодическая функция, и можно использовать свойство:

$$\operatorname{tg}(a — b) = -\operatorname{tg}(b — a).$$

Подставим это в выражение $\operatorname{tg}(7\pi — 2x)$:

$$\operatorname{tg}(7\pi — 2x) = -\operatorname{tg}(2x — 7\pi).$$

Таким образом, наше выражение становится:

$$\operatorname{tg}(2x) — \operatorname{tg}(2x — 7\pi).$$

Шаг 4: Используем периодичность функции тангенса.

Как и раньше, тангенс имеет период $\pi$, и $7\pi$ — это кратное $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(2x — 7\pi) = \operatorname{tg}(2x).$$

Следовательно, выражение сводится к:

$$\operatorname{tg}(2x) — \operatorname{tg}(2x) = 0.$$

Шаг 5: Заключение для части а)

Таким образом, мы доказали, что:

$$\operatorname{tg}(2x + 2\pi) + \operatorname{tg}(7\pi — 2x) = 0.$$

Утверждение доказано.

б) $f(\pi — x) + f(5\pi + x) = 0$

Дано: функция $f(x) = \operatorname{tg}(x)$.

Нам нужно доказать, что:

$$f(\pi — x) + f(5\pi + x) = 0.$$

Шаг 1: Подставляем определения функции $f(x) = \operatorname{tg}(x)$.

Подставим $f(\pi — x) = \operatorname{tg}(\pi — x)$ и $f(5\pi + x) = \operatorname{tg}(5\pi + x)$ в левую часть выражения:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) + \operatorname{tg}(5\pi + x).$$

Шаг 2: Используем свойство тангенса при сдвиге аргумента на $\pi$.

Известно, что:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x),$$

так как $\operatorname{tg}(\pi — x)$ — это тангенс угла, который симметричен относительно $\pi$, и $\operatorname{tg}(\pi — x)$ меняет знак по сравнению с $\operatorname{tg}(x)$.

Теперь подставим это в выражение:

$$-\operatorname{tg}(x) + \operatorname{tg}(5\pi + x).$$

Шаг 3: Используем периодичность функции тангенса.

Функция тангенса имеет период $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(5\pi + x) = \operatorname{tg}(x).$$

Тогда выражение становится:

$$-\operatorname{tg}(x) + \operatorname{tg}(x) = 0.$$

Шаг 4: Заключение для части б)

Таким образом, мы доказали, что:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) + \operatorname{tg}(5\pi + x) = 0.$$

Утверждение доказано.