ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите основной период функции:

а) $y = \operatorname{tg} 2x$;

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;

в) $y = \operatorname{tg} 5x$;

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$

Основным периодом функции $y = \operatorname{tg} x$ является число $\pi$.

а) $y = \operatorname{tg} 2x$;

Основной период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg} 2(x + T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\operatorname{tg}(2x + 2T) = \operatorname{tg} 2x;$$ $$2T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $T = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;

Основной период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg} \frac{x + T}{3} = \operatorname{tg} \frac{x}{3};$$ $$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{1}{3}T \right) = \operatorname{tg} \frac{x}{3};$$ $$\frac{1}{3}T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = 3\pi;$$

Ответ: $T = 3\pi$.

в) $y = \operatorname{tg} 5x$;

Основной период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg} 5(x + T) = \operatorname{tg} 5x;$$ $$\operatorname{tg}(5x + 5T) = \operatorname{tg} 5x;$$ $$5T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{\pi}{5};$$

Ответ: $T = \frac{\pi}{5}$.

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$;

Основной период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$\operatorname{tg} \frac{2(x + T)}{5} = \operatorname{tg} \frac{2x}{5};$$ $$\operatorname{tg} \left( \frac{2x}{5} + \frac{2}{5}T \right) = \operatorname{tg} \frac{2x}{5};$$ $$\frac{2}{5}T = \pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{5\pi}{2};$$

Ответ: $T = \frac{5\pi}{2}$.

Основным периодом функции $y = \operatorname{tg} x$ является число $\pi$.

Рассмотрим, как изменяется период функции при различных преобразованиях. Напоминаем, что для функции $y = \operatorname{tg} x$ основной период равен $\pi$. То есть, если мы будем прибавлять к аргументу $x$ период функции, то функция будет принимать одинаковые значения:

$$y(x + T) = y(x)$$

где $T$ — это период функции, который нужно найти.

а) $y = \operatorname{tg} 2x$

Нам нужно найти период функции $y = \operatorname{tg} 2x$.

Запишем условие для нахождения периода:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставим в это выражение функцию $y = \operatorname{tg} 2x$:

$$\operatorname{tg} 2(x + T) = \operatorname{tg} 2x$$

Раскроем скобки в левом выражении:

$$\operatorname{tg}(2x + 2T) = \operatorname{tg} 2x$$

Для того чтобы это равенство выполнялось, аргументы $2x + 2T$ и $2x$ должны различаться на целое число периодов функции $\operatorname{tg}$. Основной период функции $\operatorname{tg}$ равен $\pi$, следовательно, необходимо, чтобы:

$$2T = \pi$$

Разделим обе части равенства на 2:

$$T = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $T = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$

Теперь найдем период функции $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$.

Снова записываем условие для нахождения периода:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставляем в это выражение нашу функцию $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$:

$$\operatorname{tg} \frac{x + T}{3} = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$$

Раскроем скобки:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{3} + \frac{T}{3} \right) = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$$

Для того чтобы это равенство выполнялось, аргументы $\frac{x}{3} + \frac{T}{3}$ и $\frac{x}{3}$ должны различаться на целое число периодов функции $\operatorname{tg}$. Основной период функции $\operatorname{tg}$ равен $\pi$, следовательно, необходимо, чтобы:

$$\frac{T}{3} = \pi$$

Умножим обе части равенства на 3:

$$T = 3\pi$$

Ответ: $T = 3\pi$.

в) $y = \operatorname{tg} 5x$

Теперь найдем период функции $y = \operatorname{tg} 5x$.

Записываем условие для нахождения периода:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставляем в это выражение нашу функцию $y = \operatorname{tg} 5x$:

$$\operatorname{tg} 5(x + T) = \operatorname{tg} 5x$$

Раскроем скобки:

$$\operatorname{tg}(5x + 5T) = \operatorname{tg} 5x$$

Для того чтобы это равенство выполнялось, аргументы $5x + 5T$ и $5x$ должны различаться на целое число периодов функции $\operatorname{tg}$. Основной период функции $\operatorname{tg}$ равен $\pi$, следовательно, необходимо, чтобы:

$$5T = \pi$$

Разделим обе части равенства на 5:

$$T = \frac{\pi}{5}$$

Ответ: $T = \frac{\pi}{5}$.

г) $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$

Теперь найдем период функции $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$.

Записываем условие для нахождения периода:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставляем в это выражение нашу функцию $y = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$:

$$\operatorname{tg} \frac{2(x + T)}{5} = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$$

Раскроем скобки:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{2x}{5} + \frac{2T}{5} \right) = \operatorname{tg} \frac{2x}{5}$$

Для того чтобы это равенство выполнялось, аргументы $\frac{2x}{5} + \frac{2T}{5}$ и $\frac{2x}{5}$ должны различаться на целое число периодов функции $\operatorname{tg}$. Основной период функции $\operatorname{tg}$ равен $\pi$, следовательно, необходимо, чтобы:

$$\frac{2T}{5} = \pi$$

Умножим обе части равенства на 5:

$$2T = 5\pi$$

Разделим обе части на 2:

$$T = \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: $T = \frac{5\pi}{2}$.

Итоговые ответы:

а) $T = \frac{\pi}{2}$
б) $T = 3\pi$
в) $T = \frac{\pi}{5}$
г) $T = \frac{5\pi}{2}$