ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = -\operatorname{tg} x$;

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$;

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$;

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$

а) $y = -\operatorname{tg} x$;

Главная ветвь тангенсоиды имеет центр в точке $(0; 0)$;

Ветвь лежит на интервале: $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$;

Ветвь отражена относительно прямой $y = 0$;

График функции:

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$;

Главная ветвь тангенсоиды имеет центр в точке $(0; 1)$;

Ветвь лежит на интервале: $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$;

Ветвь отражена относительно прямой $y = 1$;

График функции:

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$;

Главная ветвь тангенсоиды имеет центр в точке $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2};$$ $$0 < x < \pi;$$

Ветвь отражена относительно прямой $y = 0$;

График функции:

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$;

Главная ветвь тангенсоиды имеет центр в точке $\left(-\frac{\pi}{3}; -2\right)$;

Ветвь лежит на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3};$$ $$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6};$$

Ветвь отражена относительно прямой $y = -2$;

График функции:

а) $y = -\operatorname{tg} x$;

1. Основная форма графика

График функции $y = \operatorname{tg} x$ — это стандартный тангенс, который имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (где $n$ — целое число). Эти асимптоты возникают, потому что тангенс стремится к бесконечности при $x \to \frac{\pi}{2} + n\pi$. В этом случае график проходит через начало координат и имеет период $\pi$.

2. Отражение графика

В функции $y = -\operatorname{tg} x$ знак минус перед тангенсом означает, что весь график отражен относительно оси $x$. В результате этого отражения:

• Положительные значения функции становятся отрицательными, а отрицательные — положительными.
• Асимптоты остаются на тех же местах.
• График теперь имеет нисходящий характер, а не восходящий, как у функции $y = \operatorname{tg} x$.

3. Центр графика

Центр (точка, через которую проходит главный участок графика) функции $y = -\operatorname{tg} x$ — это точка $(0; 0)$, так как тангенс проходит через начало координат, а отражение не сдвигает его.

4. Интервал, на котором лежит график

График функции $y = -\operatorname{tg} x$ существует на интервале $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, так как тангенс на этих промежутках не имеет асимптот, а на границах интервала функции стремится к бесконечности.

5. График функции

График функции будет иметь вид:

• Через точку $(0; 0)$.
• Асимптоты в точках $x = \pm \frac{\pi}{2}$.
• График будет нисходящим.

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1$;

1. Вертикальный сдвиг

Теперь в уравнении добавлен сдвиг на $+1$ в правой части. Это означает, что весь график будет сдвинут вверх на 1 единицу, что изменит его центр.

• Если для $y = -\operatorname{tg} x$ центр был в точке $(0; 0)$, то для $y = -\operatorname{tg} x + 1$ центр будет в точке $(0; 1)$.

2. Асимптоты

Асимптоты не изменяются, потому что вертикальные асимптоты определяются значением тангенса, а сдвиг графика вдоль оси $y$ не влияет на их положение.

3. Отражение графика

Отражение относительно оси $x$ сохраняется, так как это связано с наличием минуса перед тангенсом.

4. Интервал графика

График по-прежнему лежит на интервале $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, как и у предыдущей функции, так как этот интервал не зависит от сдвига вдоль оси $y$.

5. График функции

• Новый центр графика будет в точке $(0; 1)$.
• Асимптоты на тех же местах.
• График сдвинут вверх на 1 единицу.

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{2}\right)$;

1. Горизонтальный сдвиг

Здесь в функции есть сдвиг $x — \frac{\pi}{2}$. Это означает, что график тангенсоиды будет сдвинут вправо на $\frac{\pi}{2}$ единиц:

• Вместо того чтобы проходить через $x = 0$, главный участок графика будет начинаться с точки $x = \frac{\pi}{2}$.
• Таким образом, центр графика будет в точке $\left( \frac{\pi}{2}; 0 \right)$.

2. Асимптоты

Положение вертикальных асимптот изменится:

• Асимпта — это значения, при которых аргумент $x$ приближается к $\pm \frac{\pi}{2}$, но сдвиг сдвигает асимптоты вправо на $\frac{\pi}{2}$.
• Получаем асимптоты в точках $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$ и $x = \pi$.

3. Отражение графика

Как и раньше, график отражен относительно оси $x$.

4. Интервал графика

Новый интервал для графика будет:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$$

что соответствует интервалу $0 < x < \pi$.

5. График функции

• Новый центр в точке $\left( \frac{\pi}{2}; 0 \right)$.
• Асимптоты на $x = 0$ и $x = \pi$.
• График сдвинут вправо на $\frac{\pi}{2}$.

г) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 2$;

1. Сдвиг влево и вниз

Теперь у нас два преобразования:

• Сдвиг функции влево на $\frac{\pi}{3}$, что изменяет положение главного участка графика на $x = -\frac{\pi}{3}$.
• Сдвиг вниз на 2 единицы, что делает новый центр графика в точке $\left( -\frac{\pi}{3}; -2 \right)$.

2. Асимптоты

Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$ изменяет положение вертикальных асимптот. Для функции $y = -\operatorname{tg} x$ асимптоты находятся в точках $x = \pm \frac{\pi}{2}$. После сдвига влево:

• Асимптоты будут в точках $x = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3}$.
• После упрощения получаем асимптоты в точках $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Отражение графика

График по-прежнему отражен относительно оси $x$.

4. Интервал графика

Для нового графика интервал:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3}$$

что приводит к интервалу:

$$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$$

5. График функции

• Новый центр в точке $\left( -\frac{\pi}{3}; -2 \right)$.
• Асимптоты в точках $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.
• График сдвинут влево на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 2 единицы.