ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\arcsin 1$

в) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\arcsin 0$

а) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin 1 = t$, тогда:

$$\sin t = 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

в) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = t$, тогда:

$$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

г) Пусть $\arcsin 0 = t$, тогда:

$$\sin t = 0, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = 0$.

Для начала, напомню, что функция $\arcsin x$ — это обратная функция к синусу, которая возвращает угол $t$, для которого $\sin t = x$ и при этом $t$ лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$. Это означает, что $\arcsin x$ всегда возвращает значение угла, которое лежит на интервале от $-90^\circ$ до $90^\circ$ (или от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$).

а) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

Шаг 1: Напишем определение арксинуса.

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = t \quad \text{означает, что} \quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Мы ищем значение угла $t$, при котором синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Определим, для какого угла синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при угле $t = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3: Проверим, что $\frac{\pi}{3}$ лежит в допустимом интервале для арксинуса.

Арксинус возвращает значение угла в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ лежит в этом интервале.

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin 1 = t$, тогда:

Шаг 1: Напишем определение арксинуса.

$$\arcsin 1 = t \quad \text{означает, что} \quad \sin t = 1.$$

Мы ищем значение угла $t$, при котором синус равен 1.

Шаг 2: Определим, для какого угла синус равен 1.

Синус равен 1 при угле $t = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Шаг 3: Проверим, что $\frac{\pi}{2}$ лежит в допустимом интервале для арксинуса.

Арксинус возвращает значение угла в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, и угол $\frac{\pi}{2}$ лежит в этом интервале.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

в) Пусть $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = t$, тогда:

Шаг 1: Напишем определение арксинуса.

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = t \quad \text{означает, что} \quad \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Мы ищем значение угла $t$, при котором синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Определим, для какого угла синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ при угле $t = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3: Проверим, что $\frac{\pi}{4}$ лежит в допустимом интервале для арксинуса.

Арксинус возвращает значение угла в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ лежит в этом интервале.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4}$.

г) Пусть $\arcsin 0 = t$, тогда:

Шаг 1: Напишем определение арксинуса.

$$\arcsin 0 = t \quad \text{означает, что} \quad \sin t = 0.$$

Мы ищем значение угла $t$, при котором синус равен 0.

Шаг 2: Определим, для какого угла синус равен 0.

Синус равен 0 при угле $t = 0$, так как $\sin 0 = 0$.

Шаг 3: Проверим, что $0$ лежит в допустимом интервале для арксинуса.

Арксинус возвращает значение угла в интервале $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$, и угол $0$ лежит в этом интервале.

Ответ: $t = 0$.

Итоговые ответы:

1. $t = \frac{\pi}{3}$.
2. $t = \frac{\pi}{2}$.
3. $t = \frac{\pi}{4}$.
4. $t = 0$.