ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \arcsin 2x$;

б) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \arcsin \frac{x}{3}$;

г) $\arcsin 2(x — 1) + \frac{\pi}{2}$

а) $y = \arcsin 2x$;

Построим график функции $y = \arcsin x$;

Сожмем его к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

б) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$;

Построим график функции $y = \arcsin x$;

Растянем его от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Переместим его на $\frac{\pi}{6}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

в) $y = \arcsin \frac{x}{3}$;

Построим график функции $y = \arcsin x$;

Растянем его от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$:

г) $\arcsin 2(x — 1) + \frac{\pi}{2}$;

Построим график функции $y = \arcsin x$;

Сожмем его к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Переместим его на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс;

Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

а) $y = \arcsin 2x$

Построим график функции $y = \arcsin x$:

Функция $y = \arcsin x$ определена на интервале $x \in [-1, 1]$, так как для значений $x$ вне этого диапазона синус не может быть обратным.

График функции $y = \arcsin x$ — это плавная кривая, начинающаяся в точке $(-1, -\frac{\pi}{2})$ и заканчивающаяся в точке $(1, \frac{\pi}{2})$.

На данном графике значение функции растет от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ при увеличении $x$ от $-1$ до $1$.

Сожмем график функции по оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

В данном случае нам нужно изменить функцию $y = \arcsin x$ таким образом, чтобы она сжималась по оси $Oy$. Это можно осуществить, умножив аргумент функции на коэффициент $2$, то есть получаем новую функцию:

$$y = \arcsin(2x).$$

Таким образом, аргумент $x$ функции увеличивается в два раза. Это означает, что точки на графике будут сдвигаться по оси $x$, но сам график будет сжаться вдоль оси $Oy$.

Рассмотрим пределы изменения функции. Если при $x = 1$ для $y = \arcsin x$ значение равно $\frac{\pi}{2}$, то теперь для функции $y = \arcsin(2x)$ значение будет достигать $\frac{\pi}{2}$ при $x = \frac{1}{2}$, а при $x = 1$ функция уже выходит за пределы области определения.

б) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$

Построим график функции $y = \arcsin x$:

Как уже было сказано, график функции $y = \arcsin x$ — это плавная кривая, определенная на интервале $x \in [-1, 1]$. Он проходит от $(-1, -\frac{\pi}{2})$ до $(1, \frac{\pi}{2})$.

Растянем график функции от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

Здесь у нас будет растяжение по оси $Oy$. Это означает, что аргумент функции будет уменьшаться. Вместо $x$ мы используем $\frac{x}{2}$. Таким образом, наша функция становится:

$$y = \arcsin \left( \frac{x}{2} \right).$$

График растянется вдоль оси $Oy$, и теперь $y$ будет достигать значений $\pm \frac{\pi}{2}$ при $x = \pm 2$, что расширяет область определения функции.

Переместим график на $\frac{\pi}{6}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

В последнем шаге мы добавляем постоянное значение $\frac{\pi}{6}$ к функции:

$$y = \arcsin \left( \frac{x}{2} \right) + \frac{\pi}{6}.$$

Это означает, что весь график будет сдвинут на $\frac{\pi}{6}$ единиц вверх вдоль оси $y$. При этом не изменяются значения $x$, только значение $y$ увеличивается на $\frac{\pi}{6}$ по всей длине графика.

в) $y = \arcsin \frac{x}{3}$

Построим график функции $y = \arcsin x$:

Определяем график функции $y = \arcsin x$ на интервале $x \in [-1, 1]$, и она будет начинаться в точке $(-1, -\frac{\pi}{2})$ и заканчиваться в точке $(1, \frac{\pi}{2})$.

Растянем график функции от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$:

В этом случае аргумент функции изменяется, и мы делим $x$ на 3:

$$y = \arcsin \left( \frac{x}{3} \right).$$

Таким образом, график растягивается по оси $Oy$, и область определения функции также расширяется. Если раньше при $x = 1$ мы имели значение $y = \frac{\pi}{2}$, то теперь это значение будет достигаться при $x = 3$.

г) $y = \arcsin 2(x — 1) + \frac{\pi}{2}$

Построим график функции $y = \arcsin x$:

Как и прежде, график функции $y = \arcsin x$ будет плавно изменяться от $(-1, -\frac{\pi}{2})$ до $(1, \frac{\pi}{2})$.

Сожмем график по оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

Подобно первому примеру, мы сжимаем график по оси $Oy$ с коэффициентом 2. Это достигается заменой $x$ на $2(x — 1)$, то есть:

$$y = \arcsin \left( 2(x — 1) \right).$$

Здесь, по аналогии с первым примером, функция будет сжата по оси $Oy$, а также будет сдвигаться влево.

Переместим график на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс:

Внутри аргумента функции $\arcsin$ происходит сдвиг графика вправо на 1 единицу. Это достигается добавлением $-1$ к $x$, и теперь аргумент функции будет $(x — 1)$.

Переместим график на $\frac{\pi}{2}$ единиц вверх вдоль оси ординат:

Последний шаг — это вертикальный сдвиг графика на $\frac{\pi}{2}$ единиц вверх, что можно выразить как добавление $\frac{\pi}{2}$ к функции:

$$y = \arcsin \left( 2(x — 1) \right) + \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, весь график будет сдвинут на $\frac{\pi}{2}$ единиц вверх.