ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arccos 0$

б) $\arccos 1$

в) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $\arccos \frac{1}{2}$

а) Пусть $\operatorname{arccos} 0 = t$, тогда:

$$\cos t = 0, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

б) Пусть $\operatorname{arccos} 1 = t$, тогда:

$$\cos t = 1, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = 0$.

в) Пусть $\operatorname{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

г) Пусть $\operatorname{arccos} \frac{1}{2} = t$, тогда:

$$\cos t = \frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

а) Пусть $\operatorname{arccos} 0 = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} 0$?

$$\operatorname{arccos} 0$$

— это угол $t$, для которого косинус равен 0. То есть, нужно найти значение угла $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = 0$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $0 \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} 0$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = 0$$

Косинус угла равен 0 на определённых углах. На интервале $[0, \pi]$ косинус равен 0 в точке $t = \frac{\pi}{2}$, потому что:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = 0$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{2}$.

б) Пусть $\operatorname{arccos} 1 = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} 1$?

$$\operatorname{arccos} 1$$

— это угол $t$, для которого косинус равен 1. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = 1$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $1 \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} 1$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = 1$$

Косинус угла равен 1 на угле $t = 0$, потому что:

$$\cos 0 = 1$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = 1$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = 0$$

Ответ: $t = 0$.

в) Пусть $\operatorname{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2} = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\operatorname{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2}$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{\pi}{6}$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{6}$.

г) Пусть $\operatorname{arccos} \frac{1}{2} = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} \frac{1}{2}$?

$$\operatorname{arccos} \frac{1}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{1}{2}$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = \frac{1}{2}$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $\frac{1}{2} \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} \frac{1}{2}$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = \frac{1}{2}$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{\pi}{3}$$

Ответ: $t = \frac{\pi}{3}$.

Итог:

а) $t = \frac{\pi}{2}$

б) $t = 0$

в) $t = \frac{\pi}{6}$

г) $t = \frac{\pi}{3}$