ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

б) $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

в) $\arccos (-1)$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})$

а) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6}$.

в) Пусть $\operatorname{arccos}(-1) = t$, тогда:

$$\cos t = -1, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \pi$.

г) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\cos t = -\frac{1}{2}, \quad 0 \leq t \leq \pi;$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

а) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

$$\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $-\frac{\sqrt{2}}{2} \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ: $t = \frac{3\pi}{4}$.

б) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?

$$\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $-\frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{5\pi}{6}$$

Ответ: $t = \frac{5\pi}{6}$.

в) Пусть $\operatorname{arccos}(-1) = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} (-1)$?

$$\operatorname{arccos} (-1)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-1$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = -1$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $-1 \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} (-1)$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = -1$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \pi = -1$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = -1$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \pi$$

Ответ: $t = \pi$.

г) Пусть $\operatorname{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

Что такое $\operatorname{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right)$?

$$\operatorname{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. То есть, нужно найти угол $t$, при котором выполняется равенство $\cos t = -\frac{1}{2}$.

Область определения функции арккосинуса:
Арккосинус $\operatorname{arccos} x$ определён для $x \in [-1, 1]$. Поскольку $-\frac{1}{2} \in [-1, 1]$, то арккосинус $\operatorname{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right)$ существует.

Решение уравнения:
Мы ищем угол $t$, который удовлетворяет следующему уравнению:

$$\cos t = -\frac{1}{2}$$

Из таблицы значений косинуса известно, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ в пределах $0 \leq t \leq \pi$ — это:

$$t = \frac{2\pi}{3}$$

Ответ: $t = \frac{2\pi}{3}$.

Итог:

а) $t = \frac{3\pi}{4}$

б) $t = \frac{5\pi}{6}$

в) $t = \pi$

г) $t = \frac{2\pi}{3}$