ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arccos (-1)+\arccos 0$

б) $\arccos \frac{1}{2}-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\arccos (-\frac{1}{2})-\arccos \frac{1}{2}$

а) $\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi — \arccos 1 + \arccos 0 = \pi — 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$;
Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) $\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$;
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

в) $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$;
Ответ: $\pi$.

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$;
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

а) $\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi — \arccos 1 + \arccos 0 = \pi — 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$;

Что такое $\arccos(-1)$?

$$\arccos(-1)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-1$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \pi = -1$$

Таким образом:

$$\arccos(-1) = \pi$$

Что такое $\arccos 0$?

$$\arccos 0$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $0$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0$$

Таким образом:

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

Что такое $\arccos 1$?

$$\arccos 1$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $1$. Из известных значений косинуса:

$$\cos 0 = 1$$

Таким образом:

$$\arccos 1 = 0$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos(-1) + \arccos 0 = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: } \frac{3\pi}{2}$$

б) $\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$;

Что такое $\arccos \frac{1}{2}$?

$$\arccos \frac{1}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{1}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6}$$

Чтобы вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Тогда:

$$\frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: } \frac{\pi}{6}$$

в) $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$;

Что такое $\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$?

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{4}$$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: } \pi$$

г) $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$;

Что такое $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$?

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$$

Что такое $\arccos \frac{1}{2}$?

$$\arccos \frac{1}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{1}{2}$. Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \arccos \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом:

$$\text{Ответ: } \frac{\pi}{3}$$

Итог:

а) $\frac{3\pi}{2}$

б) $\frac{\pi}{6}$

в) $\pi$

г) $\frac{\pi}{3}$