ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\arccos (-\frac{1}{2}))$

б) $tg(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})$

в) $ctg(\arccos 0)$

г) $\sin (\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})$

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $ctg(\arccos 0) = ctg\frac{\pi}{2} = \frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$;

Ответ: 0.

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Что такое $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$?

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = -\frac{1}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Как вычислить $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$?
Мы знаем, что:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Таким образом:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$$

Подставляем значение $\cos t = -\frac{1}{2}$:

$$\sin^2 t = 1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Следовательно:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Так как $t = \frac{2\pi}{3}$, а $\frac{2\pi}{3}$ находится во втором квадранте, где синус положительный, то:

$$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } \frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Что такое $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Что такое $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$?
Мы ищем тангенс угла, который равен:

$$tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем значение $t = \frac{\pi}{6}$:

$$tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Таким образом:

$$tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } \frac{\sqrt{3}}{3}$$

в) $ctg(\arccos 0)$

Что такое $\arccos 0$?

$$\arccos 0$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $0$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = 0$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0$$

Таким образом:

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

Что такое $ctg \left(\frac{\pi}{2}\right)$?
Тангенс и котангенс связаны между собой:

$$ctg t = \frac{1}{tg t}$$

Так как:

$$tg \frac{\pi}{2} = \infty$$

То:

$$ctg \frac{\pi}{2} = 0$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } 0$$

г) $\sin\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Как вычислить $\sin\left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?
Мы знаем, что:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Таким образом:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$$

Подставляем значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin^2 t = 1 — \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 — \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Следовательно:

$$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Так как $t = \frac{\pi}{4}$, то синус положителен, и:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итог:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) $0$

г) $\frac{\sqrt{2}}{2}$