ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (2\arcsin \frac{1}{2}-3\arccos (-\frac{1}{2}))$

б) $\cos (\frac{1}{2}\arcsin 1+\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}))$

в) $tg(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})$

г) $ctg(3\arccos (-1)-\arcsin (-\frac{1}{2}))$

а) $\sin \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} — 3 \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} — 3 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) =$

$= \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} \right) = \sin \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = -\sin \frac{5\pi}{3} = -\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\cos \left( \frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) = \cos \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = \cos 0 = 1;$

Ответ: 1.

в) $tg \left( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = tg \left( \frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = tg \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) =$

$= tg \left( \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} \right) = tg \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{\sin \frac{5\pi}{6}}{\cos \frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2} : \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) $ctg \left( 3 \arccos (-1) — \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = ctg \left( 3 \cdot \pi — \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) =$

$= ctg \left( 3\pi + \frac{\pi}{6} \right) = ctg \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3};$

Ответ: $\sqrt{3}$.

а) $\sin \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} — 3 \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$

Что такое $\arcsin \frac{1}{2}$?

$$\arcsin \frac{1}{2}$$

— это угол $t$, для которого синус равен $\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = \frac{1}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Что такое $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$?

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = -\frac{1}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\sin \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} — 3 \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$$

Подставляем:

$$2 \arcsin \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$ $$3 \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$$

Тогда выражение становится:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — 2\pi \right) = \sin \left( -\frac{5\pi}{3} \right)$$

С использованием свойств синуса:

$$\sin(-x) = -\sin(x)$$

Таким образом:

$$\sin \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = -\sin \frac{5\pi}{3}$$

Так как $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертом квадранте, и в нем синус отрицателен, а $\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$$\sin \left( -\frac{5\pi}{3} \right) = -\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } \frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $\cos \left( \frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$

Что такое $\arcsin 1$?

$$\arcsin 1$$

— это угол $t$, для которого синус равен $1$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = 1$$

Из известных значений синуса:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Таким образом:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$$

Что такое $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$?

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$\cos \left( \frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$$

Подставляем:

$$\frac{1}{2} \arcsin 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$$

Тогда выражение становится:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right) = \cos 0$$

Мы знаем, что:

$$\cos 0 = 1$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } 1$$

в) $tg \left( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Что такое $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$?

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$

— это угол $t$, для которого синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Что такое $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$?

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$tg \left( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Подставляем:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}, \quad 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Тогда выражение становится:

$$tg \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = tg \left( \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} \right) = tg \left( \frac{5\pi}{6} \right)$$

Тангенс угла равен:

$$tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем значения для $t = \frac{5\pi}{6}$:

$$\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда:

$$tg \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

г) $ctg \left( 3 \arccos (-1) — \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$

Что такое $\arccos (-1)$?

$$\arccos (-1)$$

— это угол $t$, для которого косинус равен $-1$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\cos t = -1$$

Из известных значений косинуса:

$$\cos \pi = -1$$

Таким образом:

$$\arccos (-1) = \pi$$

Что такое $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$?

$$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$$

— это угол $t$, для которого синус равен $-\frac{1}{2}$. Мы ищем такой угол $t$, для которого:

$$\sin t = -\frac{1}{2}$$

Из известных значений синуса:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$$

Подставляем полученные значения в выражение:
Рассматриваем выражение:

$$ctg \left( 3 \arccos (-1) — \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$$

Подставляем:

$$3 \arccos (-1) = 3 \cdot \pi = 3\pi, \quad \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$$

Тогда выражение становится:

$$ctg \left( 3\pi — \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) = ctg \left( 3\pi + \frac{\pi}{6} \right) = ctg \frac{19\pi}{6}$$

Так как $ctg t$ имеет период $\pi$, то:

$$ctg \frac{19\pi}{6} = ctg \frac{\pi}{6}$$

Известно, что:

$$ctg \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\text{Ответ: } \sqrt{3}$$

Итог:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $1$

в) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) $\sqrt{3}$