ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

б) $\arcsin (-\frac{1}{2})$

в) $\arcsin (-1)$

г) $\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

а) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin(-t) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$-t = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin(-t) = \frac{1}{2};$$ $$-t = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

в) Пусть $\arcsin(-1) = t$, тогда:

$$\sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin(-t) = 1;$$ $$-t = \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2}$.

г) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin(-t) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$-t = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

а) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t$, тогда:

Решение:

Определение $\arcsin x$:
Функция $\arcsin x$ – это обратная функция к синусу, определенная на интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. То есть, если $y = \arcsin x$, то это означает, что:

$$\sin y = x \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}.$$

Исходное уравнение:
Нужно найти значение угла $t$, такое что:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = t.$$

Это значит, что:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поиск угла:
Теперь мы должны найти угол $t$, для которого синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, и этот угол должен находиться в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.

Из таблицы значений синуса или по известным значениям, мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Поскольку в нашем случае $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $t$ должен быть отрицательным (в пределах интервала $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$).

Таким образом:

$$t = -\frac{\pi}{3}.$$

Ответ:
Ответ: $t = -\frac{\pi}{3}$.

б) Пусть $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t$, тогда:

Решение:

Исходное уравнение:
Нам нужно найти $t$, такое что:

$$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = t,$$

или, другими словами:

$$\sin t = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поиск угла:
Из таблицы значений синуса или по известным значениям мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Однако в данном случае $\sin t = -\frac{1}{2}$, поэтому угол $t$ должен быть отрицательным.

Таким образом, мы знаем, что:

$$-t = \frac{\pi}{6},$$

отсюда:

$$t = -\frac{\pi}{6}.$$

Ответ:
Ответ: $t = -\frac{\pi}{6}$.

в) Пусть $\arcsin(-1) = t$, тогда:

Решение:

Исходное уравнение:
Нам нужно найти $t$, такое что:

$$\arcsin(-1) = t,$$

или:

$$\sin t = -1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поиск угла:
Из таблицы значений синуса или по известным результатам:

$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1.$$

Это совпадает с нашим значением, следовательно:

$$t = -\frac{\pi}{2}.$$

Ответ:
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2}$.

г) Пусть $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t$, тогда:

Решение:

Исходное уравнение:
Нам нужно найти $t$, такое что:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = t,$$

или:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поиск угла:
Из таблицы значений синуса или по известным значениям:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Поскольку $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, угол $t$ должен быть отрицательным.

Таким образом:

$$-t = \frac{\pi}{4},$$

отсюда:

$$t = -\frac{\pi}{4}.$$

Ответ:
Ответ: $t = -\frac{\pi}{4}$.

Итоговые ответы:

а) $t = -\frac{\pi}{3}$

б) $t = -\frac{\pi}{6}$

в) $t = -\frac{\pi}{2}$

г) $t = -\frac{\pi}{4}$