ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\arccos \sqrt{5}$;

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$;

г) $\arccos(-\sqrt{3})$

а) $\arccos \sqrt{5}$;

$5 > 1$;
$\sqrt{5} > 1$;

Ответ: нет.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

$0 < \frac{2}{3} < 1$;
$0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$;

Ответ: да.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$;

$\pi \approx 3,14$;
$0 < \pi < 5$;
$0 < \frac{\pi}{5} < 1$;

Ответ: да.

г) $\arccos(-\sqrt{3})$;

$3 > 1$;
$\sqrt{3} > 1$;
$-\sqrt{3} < -1$;

Ответ: нет.

а) $\arccos \sqrt{5}$

Что такое функция $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ (арккосинус) определена для значений $x$ в интервале $[-1; 1]$. Это означает, что $x$ должен быть в пределах от $-1$ до $1$, чтобы функция $\arccos x$ была определена.

Проверяем значение $\sqrt{5}$:
Заданный аргумент в функции $\arccos$ равен $\sqrt{5}$. Мы знаем, что:

$$\sqrt{5} \approx 2.236$$

Это значение больше 1, то есть $\sqrt{5} > 1$.

Решение:
Так как $\sqrt{5} > 1$, а функция $\arccos x$ имеет смысл только для значений $x \in [-1; 1]$, то выражение $\arccos \sqrt{5}$ не имеет смысла.

Ответ: нет.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$

Что такое функция $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ определена для значений $x$ в интервале $[-1; 1]$.

Проверяем значение $\sqrt{\frac{2}{3}}$:
Рассмотрим аргумент $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Поскольку $\frac{2}{3}$ — это число, лежащее в пределах от 0 до 1 (так как $0 < \frac{2}{3} < 1$), то:

$$0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$$

Решение:
Так как $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$, это значение лежит в допустимом диапазоне для функции $\arccos x$, который ограничен интервалом $[-1; 1]$.

Ответ: да.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$

Что такое функция $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ определена для значений $x$ в интервале $[-1; 1]$.

Проверяем значение $\frac{\pi}{5}$:
Значение $\pi \approx 3.1416$, следовательно:

$$\frac{\pi}{5} \approx \frac{3.1416}{5} = 0.628$$

Это значение лежит в интервале $[0, 1]$, так как $0 < \frac{\pi}{5} < 1$.

Решение:
Так как $0 < \frac{\pi}{5} < 1$, это значение лежит в допустимом диапазоне для функции $\arccos x$.

Ответ: да.

г) $\arccos(-\sqrt{3})$

Что такое функция $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ определена для значений $x$ в интервале $[-1; 1]$.

Проверяем значение $-\sqrt{3}$:
Рассмотрим значение $-\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} \approx 1.732$$

Следовательно:

$$-\sqrt{3} \approx -1.732$$

Это значение меньше $-1$, то есть $-\sqrt{3} < -1$.

Решение:
Так как $-\sqrt{3} < -1$, это значение выходит за пределы допустимого диапазона для функции $\arccos x$, так как функция $\arccos x$ определена только для значений $x \in [-1; 1]$.

Ответ: нет.