ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \arccos x$;

б) $y = 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2}$;

в) $y = -\frac{1}{2} \arccos x$;

г) $y = \pi — 2 \arccos x$

а) $y = 2 \arccos x$;

$0 \leq \arccos x \leq \pi$;

$0 \leq 2 \arccos x \leq 2\pi$;

Ответ: $y \in [0; 2\pi]$.

б) $y = 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2}$;

$0 \leq \arccos x \leq \pi$;

$0 \leq 1,5 \arccos x \leq \frac{3\pi}{2}$;

$-\frac{\pi}{2} \leq 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2} \leq \pi$;

Ответ: $y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

в) $y = -\frac{1}{2} \arccos x$;

$0 \leq \arccos x \leq \pi$;

$-\pi \leq -\arccos x \leq 0$;

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{1}{2} \arccos x \leq 0$;

Ответ: $y \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

г) $y = \pi — 2 \arccos x$;

$0 \leq \arccos x \leq \pi$;

$-2\pi \leq -2 \arccos x \leq 0$;

$-\pi \leq \pi — 2 \arccos x \leq \pi$;

Ответ: $y \in [-\pi; \pi]$.

а) $y = 2 \arccos x$

Что такое $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ (арккосинус) определена для $x \in [-1; 1]$. Она принимает значения в интервале $[0; \pi]$, то есть:

$$0 \leq \arccos x \leq \pi$$

Таким образом, $\arccos x$ ограничено этим интервалом для всех допустимых значений $x \in [-1; 1]$.

Что происходит при умножении на 2?
Умножив $\arccos x$ на 2, получаем новое значение $y$. Поскольку $\arccos x$ лежит в интервале $[0; \pi]$, умножение на 2 расширяет этот интервал до $[0; 2\pi]$:

$$0 \leq 2 \arccos x \leq 2\pi$$

Область значений функции:
Поскольку $2 \arccos x$ принимает все значения от 0 до $2\pi$, область значений функции $y = 2 \arccos x$ будет:

$$y \in [0; 2\pi]$$

Ответ:

$$y \in [0; 2\pi]$$

б) $y = 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2}$

Что такое $\arccos x$?
Как и в предыдущем примере, $\arccos x$ — это угол, значение которого лежит в интервале $[0; \pi]$ при $x \in [-1; 1]$.

Что происходит при умножении на 1,5 и вычитании $\frac{\pi}{2}$?
Умножив $\arccos x$ на 1,5, мы расширяем интервал значений арккосинуса. Если $\arccos x$ лежит в интервале $[0; \pi]$, то после умножения на 1,5 это значение изменится на интервал $[0; \frac{3\pi}{2}]$. Теперь вычитаем $\frac{\pi}{2}$, что смещает весь интервал на $-\frac{\pi}{2}$. Получаем новый интервал:

$$0 \leq 1,5 \arccos x \leq \frac{3\pi}{2}$$

После вычитания $\frac{\pi}{2}$ мы получаем:

$$-\frac{\pi}{2} \leq 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2} \leq \pi$$

Область значений функции:
Поскольку результат выражения $1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2}$ лежит в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, область значений функции $y = 1,5 \arccos x — \frac{\pi}{2}$ будет:

$$y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$$

Ответ:

$$y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$$

в) $y = -\frac{1}{2} \arccos x$

Что такое $\arccos x$?
Как и в предыдущих примерах, $\arccos x$ принимает значения в интервале $[0; \pi]$.

Что происходит при умножении на $-\frac{1}{2}$?
Умножив $\arccos x$ на $-\frac{1}{2}$, мы меняем знак и уменьшаем значение функции. Поскольку $\arccos x$ принимает значения в интервале $[0; \pi]$, после умножения на $-\frac{1}{2}$ значения функции будут в интервале:

$$-\frac{\pi}{2} \leq -\frac{1}{2} \arccos x \leq 0$$

Область значений функции:
Таким образом, область значений функции $y = -\frac{1}{2} \arccos x$ будет:

$$y \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$$

Ответ:

$$y \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$$

г) $y = \pi — 2 \arccos x$

Что такое $\arccos x$?
Функция $\arccos x$ снова принимает значения в интервале $[0; \pi]$.

Что происходит при умножении на 2 и вычитании из $\pi$?
Умножив $\arccos x$ на 2, мы расширяем интервал значений. Если $\arccos x$ лежит в интервале $[0; \pi]$, то $2 \arccos x$ лежит в интервале $[0; 2\pi]$. Теперь вычитаем из $\pi$ этот результат:

$$\pi — 2 \arccos x$$

Поскольку $2 \arccos x$ лежит в интервале $[0; 2\pi]$, вычитание этого из $\pi$ дает следующий интервал для функции:

$$-\pi \leq \pi — 2 \arccos x \leq \pi$$

Область значений функции:
Таким образом, область значений функции $y = \pi — 2 \arccos x$ будет:

$$y \in [-\pi; \pi]$$

Ответ:

$$y \in [-\pi; \pi]$$

Итог:

а) $y \in [0; 2\pi]$

б) $y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$

в) $y \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

г) $y \in [-\pi; \pi]$$$