ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте и прочитайте график функции:

а) $y=-3\arccos x$

б) $y=\frac{3\pi }{4}-\arccos x$

в) $y=\frac{1}{2}\arccos x$

г) $y=\frac{2}{3}\arccos (x+1.5)$

а) $y = -3 \arccos x$

Построим график функции $y = \arccos x$;

Отразим его относительно оси абсцисс;

Растянем его от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$.

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$;
• Множество значений: $E(f) = [-3\pi; 0]$;
• Функция возрастает;
• $f(x) < 0$ на $[-1; 1)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

б) $y = \frac{3\pi}{4} — \arccos x$

Построим график функции $y = \arccos x$;

Отразим его относительно оси абсцисс;

Переместим его на $\frac{3\pi}{4}$ единиц вверх вдоль оси ординат.

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right]$;
• Функция возрастает;
• $f(x) > 0$ на $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right]$;
• $f(x) < 0$ на $\left[ -1; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

в) $y = \frac{1}{2} \arccos x$

Построим график функции $y = \arccos x$;

Сожмем его к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$.

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$;
• Функция убывает;
• $f(x) > 0$ на $[-1; 1)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

г) $y = \frac{2}{3} \arccos (x + 1.5)$

Построим график функции $y = \arccos x$;

Переместим его на 1,5 единицы влево вдоль оси абсцисс;

Сожмем его к оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1.5$.

• Область определения: $D(f) = [-2.5; -0.5]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$;
• Функция убывает;
• $f(x) > 0$ на $[-2.5; -0.5)$;
• Функция ни четная, ни нечетная

а) $y = -3 \arccos x$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

• График функции $y = \arccos x$ — это спадная кривая, которая начинается от $y = 0$ при $x = 1$ и доходит до $y = \pi$ при $x = -1$.
• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$, так как функция $\arccos x$ определена на этом интервале.
• Множество значений: $E(f) = [0; \pi]$, так как значение арккосинуса всегда лежит в этом интервале.

Отражение относительно оси абсцисс:

• Отражение графика функции относительно оси абсцисс означает, что все значения функции меняют знак, но форма графика остается неизменной.
• После отражения $y = -\arccos x$, график функции будет тем же, но теперь убывающим (от $y = 0$ до $y = -\pi$).

Растяжение вдоль оси $Ox$ с коэффициентом $k = 3$:

• Растяжение функции с коэффициентом 3 по оси $Ox$ означает, что значения функции увеличиваются в 3 раза, что сжимает график по оси $y$ и растягивает его вдоль оси $x$.
• Умножение на $-3$ приводит к тому, что график будет растянут и инвертирован (от $y = -\pi$ до $y = 0$, но с более крутым наклоном).

Исследование свойств функции:

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$.
• Множество значений: $E(f) = [-3\pi; 0]$ — поскольку максимальное значение функции $\arccos x$ равно $\pi$, а после умножения на $-3$ получаем интервал $[-3\pi; 0]$.
• Функция возрастает: Хотя сама функция $\arccos x$ убывает, умножение на $-3$ делает её возрастающей.
• Знаки функции:
  • $f(x) < 0$ на интервале $[-1; 1)$, так как функция принимает отрицательные значения на этом интервале.

б) $y = \frac{3\pi}{4} — \arccos x$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

• График функции $y = \arccos x$ убывает от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.
• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$, поскольку арккосинус определён для $x$ в интервале $[-1; 1]$.
• Множество значений: $E(f) = [0; \pi]$.

Отражение относительно оси абсцисс:

• Как и в предыдущем примере, отражение графика относительно оси абсцисс инвертирует значения функции. После этого график функции будет тем же, но с отрицательными значениями.

Перемещение на $\frac{3\pi}{4}$ единиц вверх:

• Перемещение графика на $\frac{3\pi}{4}$ единиц вверх по оси ординат добавляет константу $\frac{3\pi}{4}$ к каждому значению функции.
• Множество значений после сдвига будет:

$$E(f) = \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right]$$

Так как исходная функция $y = \arccos x$ имела диапазон значений $[0; \pi]$, и добавление $\frac{3\pi}{4}$ смещает его вверх.

Исследование свойств функции:

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$.
• Множество значений: $E(f) = \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right]$.
• Функция возрастает: Из-за того, что $y = \arccos x$ убывает, а мы вычитаем это из $\frac{3\pi}{4}$, функция будет возрастать.
• Знаки функции:
  • $f(x) > 0$ на интервале $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right]$,
  • $f(x) < 0$ на $\left[ -1; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

в) $y = \frac{1}{2} \arccos x$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

• График функции $y = \arccos x$ убывает от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.
• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$.
• Множество значений: $E(f) = [0; \pi]$.

Сжатие графика относительно оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

• Сжатие графика на оси $y$ с коэффициентом 2 означает, что график будет «плоским», и значения функции будут в 2 раза меньше.
• Результирующее множество значений будет $E(f) = \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$, так как максимальное значение функции $\frac{1}{2} \cdot \pi$.

Исследование свойств функции:

• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$.
• Множество значений: $E(f) = \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$.
• Функция убывает: Поскольку функция $y = \arccos x$ убывает, сжатие графика не изменит её монотонности.
• Знак функции: $f(x) > 0$ на интервале $[-1; 1)$.

г) $y = \frac{2}{3} \arccos(x + 1.5)$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

• График функции $y = \arccos x$ убывает от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.
• Область определения: $D(f) = [-1; 1]$.

Перемещение графика на 1,5 единицы влево вдоль оси абсцисс:

• Перемещение функции на 1,5 единицы влево изменяет область определения. Для $y = \arccos(x + 1.5)$ область определения будет $D(f) = [-2.5; -0.5]$, так как $x + 1.5$ теперь лежит в интервале $[-1; 1]$.

Сжатие графика относительно оси $Ox$ с коэффициентом $k = 1.5$:

• Сжатие функции относительно оси $y$ с коэффициентом 1,5 означает, что значения функции будут уменьшены на 1,5, и график станет более плоским.
• Множество значений после сжатия: $E(f) = \left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$.

Исследование свойств функции:

• Область определения: $D(f) = [-2.5; -0.5]$.
• Множество значений: $E(f) = \left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right]$.
• Функция убывает: Функция $y = \arccos x$ убывает, а её сжатие не изменяет монотонность.
• Знак функции: $f(x) > 0$ на интервале $[-2.5; -0.5)$.

$$D(f) = [-2.5; -0.5], \quad E(f) = \left[ 0; \frac{2\pi}{3} \right], \quad f(x) \text{ убывает}, \quad f(x) > 0 \text{ на } [-2.5; -0.5)$$