ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \arccos 2x$;

б) $y = \arccos \frac{x}{2} — \frac{5\pi}{6}$;

в) $y = -\arccos \frac{x}{3}$;

г) $y = \arccos 2(x-1) — \frac{\pi}{2}$

а) $y = \arccos 2x$;

Построим график функции $y = \arccos x$;

Сожмем его к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

• Область определения: $D(f) = [-0,5; 0,5]$;
• Множество значений: $E(f) = [0; \pi]$;
• Функция убывает;
• $f(x) > 0$ на $[-0,5; 0,5]$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

б) $y = \arccos \frac{x}{2} — \frac{5\pi}{6}$;

Построим график функции $y = \arccos x$;

Растянем его от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Переместим его на $\frac{5\pi}{6}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

• Область определения: $D(f) = [-2; 2]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]$;
• Функция убывает;
• $f(x) > 0$ на $[-2; -\sqrt{3}]$;
• $f(x) < 0$ на $(-\sqrt{3}; 2]$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

в) $y = -\arccos \frac{x}{3}$;

Построим график функции $y = \arccos x$;

Растянем его от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$;

Отразим его относительно оси абсцисс:

• Область определения: $D(f) = [-3; 3]$;
• Множество значений: $E(f) = [-\pi; 0]$;
• Функция возрастает;
• $f(x) < 0$ на $[-3; 3)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;

г) $y = \arccos 2(x-1) — \frac{\pi}{2}$;

Построим график функции $y = \arccos x$;

Сожмем его к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;

Переместим его на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс;

Переместим его на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

• Область определения: $D(f) = [0,5; 1,5]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
• Функция убывает;
• $f(x) > 0$ на $[0,5; 1)$;
• $f(x) < 0$ на $(1; 1,5]$;
• Функция ни четная, ни нечетная

а) $y = \arccos 2x$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

Функция $y = \arccos x$ — это обратная к функции косинуса на интервале $[0, \pi]$, где:

• Область определения: $D(f) = [-1, 1]$, так как арккосинус определён для $x \in [-1, 1]$.
• Множество значений: $E(f) = [0, \pi]$, так как значение функции $y = \arccos x$ лежит в этом интервале.
• График функции $y = \arccos x$ убывает, начиная от $y = 0$ при $x = 1$ и заканчивая $y = \pi$ при $x = -1$.

Сжатие графика относительно оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

Сжатие функции по оси $y$ с коэффициентом $k = 2$ означает, что значения функции будут уменьшены в два раза, а график будет сжаться по вертикали. То есть для каждого значения $y$ графика $y = \arccos x$ мы умножаем его на $\frac{1}{2}$, что приводит к уменьшению диапазона значений функции.

• Множество значений после сжатия: $E(f) = [0, \pi]$ останется прежним, поскольку сжатие происходит по вертикали, но не меняет сам диапазон.

Область определения функции:
При $y = \arccos 2x$, область определения функции сужается, так как теперь $2x$ должно лежать в интервале $[-1, 1]$. Следовательно:

$$-1 \leq 2x \leq 1$$

Разделим на 2:

$$-0.5 \leq x \leq 0.5$$

Область определения будет:

$$D(f) = [-0.5; 0.5]$$

Исследование свойств функции:

• Функция убывает: Функция $y = \arccos 2x$ продолжает оставаться убывающей, так как преобразования не меняют этого свойства для арккосинуса.
• Знак функции: Функция будет положительной на интервале $[-0.5; 0.5]$, так как $\arccos x$ всегда положителен для $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arccos \frac{x}{2} — \frac{5\pi}{6}$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

Начинаем с построения графика функции $y = \arccos x$, как это было сделано в предыдущем примере. График убывает от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.

Растяжение графика относительно оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

Растяжение графика относительно оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$ увеличивает значения функции, что делает график более крутым. Для каждого значения $y$ графика $y = \arccos x$ значения будут увеличиваться в 2 раза. Это сдвигает диапазон значений функции.

• Множество значений после растяжения: $E(f) = [0, \pi]$ будет изменено на $E(f) = [0, 2\pi]$, так как максимальное значение арккосинуса $\pi$ после растяжения станет $2\pi$.

Перемещение на $\frac{5\pi}{6}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

После растяжения графика мы перемещаем его на $\frac{5\pi}{6}$ единиц вниз. Это смещает весь график вниз, и теперь область значений будет ограничена интервалом:

$$E(f) = \left[ -\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6} \right]$$

Исследование свойств функции:

• Функция убывает: Сдвиг и растяжение не изменяют монотонности функции.
• Знак функции:
  • $f(x) > 0$ на интервале $[-2; -\sqrt{3}]$,
  • $f(x) < 0$ на $(-\sqrt{3}; 2]$.

в) $y = -\arccos \frac{x}{3}$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

Мы начинаем с того же графика функции $y = \arccos x$, который убывает от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.

Растяжение графика относительно оси $Oy$ с коэффициентом $k = 3$:

Растяжение с коэффициентом $k = 3$ увеличивает значения функции в 3 раза. Таким образом, максимальное значение арккосинуса $\pi$ после растяжения станет $3\pi$, и диапазон значений функции изменится.

Отражение относительно оси абсцисс:

Отражение относительно оси абсцисс меняет знак всех значений функции. Теперь функция будет возрастать, так как мы инвертируем график, а не растягиваем его вверх.

• Множество значений функции после отражения: $E(f) = [-\pi; 0]$, так как график функции стал положительным и убывающим на интервале $[-\pi, 0]$.

Исследование свойств функции:

• Функция возрастает: После отражения относительно оси абсцисс график функции $y = -\arccos \frac{x}{3}$ будет возрастать.
• Знак функции:
  • $f(x) < 0$ на интервале $[-3; 3)$.

г) $y = \arccos 2(x-1) — \frac{\pi}{2}$

Построение графика функции $y = \arccos x$:

График функции $y = \arccos x$ построен как спадная кривая от $y = 0$ при $x = 1$ до $y = \pi$ при $x = -1$.

Сжатие графика относительно оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$:

Сжатие графика с коэффициентом $k = 2$ изменяет диапазон значений на $[0; \pi]$ на $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Перемещение на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс:

Сдвиг на 1 единицу вправо изменяет область определения функции на $[0.5; 1.5]$, так как $x — 1$ теперь лежит в интервале $[-1; 1]$.

Перемещение на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат:

Сдвиг вниз на $\frac{\pi}{2}$ единиц смещает все значения функции на $\frac{\pi}{2}$ вниз. Множество значений будет теперь:

$$E(f) = \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$$

Исследование свойств функции:

• Функция убывает: Сдвиг и растяжение не изменяют убывающую монотонность функции.
• Знак функции:
  • $f(x) > 0$ на интервале $[0.5; 1)$,
  • $f(x) < 0$ на интервале $(1; 1.5]$.