ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте и прочитайте график функции:

а) $y=\{\begin{array}{ll}\pi ,& \text{если }x<-1\\ \arccos x,& \text{если }-1\le x\le 1\\ \sqrt{x-1},& \text{если }x>1\end{array}$

б) $y=\{\begin{array}{ll}\arccos x,& \text{если }-1\le x\le 0.5\\ \frac{\pi }{3},& \text{если }0.5<x\le \frac{\pi }{3}\\ x,& \text{если }\frac{\pi }{3}<x\le 3\end{array}$

а) $y = \begin{cases} \pi, & \text{если } x < -1 \\ \arccos x, & \text{если } -1 \leq x \leq 1 \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

$y = \pi$ — уравнение прямой;

$y = \arccos x$ — обратная функция:

$y = \sqrt{x-1}$ — уравнение ветви параболы:
$x_0 = 1$, $y_0 = 0$;

Графики функций:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = [0; +\infty)$;
• Возрастает на $[1; +\infty)$;
• Убывает на $[-1; 1]$;
• Постоянна на $(-\infty; -1]$;
• $f(x) > 0$ на $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической;

б) $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } -1 \leq x \leq 0.5 \\ \frac{\pi}{3}, & \text{если } 0.5 < x \leq \frac{\pi}{3} \\ x, & \text{если } \frac{\pi}{3} < x \leq 3 \end{cases}$

$y = \arccos x$ — обратная функция:

$y = \frac{\pi}{3}$ — уравнение прямой;

$y = x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = [-1; 3]$;
• Множество значений: $E(f) = \left[ \frac{\pi}{3}; \pi \right]$;
• Возрастает на $\left[ \frac{\pi}{3}; 3 \right]$;
• Убывает на $[-1; 0.5]$;
• Постоянна на $\left[ 0.5; \frac{\pi}{3} \right]$;
• $f(x) > 0$ на $[-1; 3]$;
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической

а)

Функция задана по частям:

$$y = \begin{cases} \pi, & x < -1 \\ \arccos x, & -1 \leq x \leq 1 \\ \sqrt{x — 1}, & x > 1 \end{cases}$$

1. Анализ каждой части

1.1. $y = \pi$, если $x < -1$

• Это прямая, параллельная оси Ox, на высоте $y = \pi$.
• Значение постоянное для всех $x < -1$.

1.2. $y = \arccos x$, если $-1 \le x \le 1$

• Это обратная функция к $\cos x$, но определена только на промежутке $[-1, 1]$.
• Область определения: $[-1; 1]$
• Множество значений: $[0; \pi]$
• Убывает: так как $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, то и $\arccos x$ убывает на $[-1; 1]$.
• Примеры:
  • $\arccos(-1) = \pi$
  • $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$
  • $\arccos(1) = 0$

1.3. $y = \sqrt{x — 1}$, если $x > 1$

• Это ветвь параболы, сдвинутая на 1 вправо.
• Определена для $x > 1$, поскольку подкоренное выражение должно быть положительным.
• Значения:
  • $x = 1 \Rightarrow y = 0$
  • $x = 2 \Rightarrow y = 1$
  • $x = 5 \Rightarrow y = 2$
• Возрастает, так как производная $y’ = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} > 0$

2. Сводная таблица значений

3. График

4. Свойства функции

б)

Функция по частям:

$$y = \begin{cases} \arccos x, & -1 \le x \le 0.5 \\ \frac{\pi}{3}, & 0.5 < x \le \frac{\pi}{3} \\ x, & \frac{\pi}{3} < x \le 3 \end{cases}$$

1. Анализ каждой части

1.1. $y = \arccos x$, $-1 \le x \le 0.5$

• Уже рассмотрели в пункте (а).
• Убывающая на этом интервале.
• Примеры:
  • $\arccos(-1) = \pi$
  • $\arccos(0.5) = \frac{\pi}{3}$

1.2. $y = \frac{\pi}{3}$, $0.5 < x \le \frac{\pi}{3}$

• Постоянная функция.
• Горизонтальная линия от $x = 0.5$ до $x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$

1.3. $y = x$, $\frac{\pi}{3} < x \le 3$

• Прямая линия через начало координат, но начинается от $x = \frac{\pi}{3}$
• Примеры:
  • $x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = \frac{\pi}{3}$
  • $x = 2 \Rightarrow y = 2$

2. Сводная таблица значений

3. График

$x = 3$

4. Свойства функции