ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$;

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

г) $\arcsin(x^2 — 3)$

Найти область определения функции:

а) $y = \arcsin x$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq 5 — 2x \leq 1;$$ $$-6 \leq -2x \leq -4;$$ $$4 \leq 2x \leq 6;$$ $$2 \leq x \leq 3;$$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1;$$ $$-2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $\arcsin(x^2 — 3)$;

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x^2 — 3 \leq 1;$$ $$2 \leq x^2 \leq 4;$$ $$x^2 \geq 2 \implies x \leq -\sqrt{2} \text{ или } x \geq \sqrt{2};$$ $$x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Найти область определения функции:

а) $y = \arcsin x$

Функция $y = \arcsin x$ определена только для значений $x$, которые принадлежат промежутку от $-1$ до $1$, так как арксинус (обратная функция к синусу) принимает значения только в этом диапазоне. Иначе говоря, для того чтобы $\arcsin x$ имел смысл, аргумент $x$ должен быть в интервале $[-1; 1]$.

Выражение имеет смысл при:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $y = \arcsin(5 — 2x)$

В этом случае мы рассматриваем функцию арксинуса от выражения $5 — 2x$. Для того чтобы арксинус был определён, его аргумент должен быть в пределах от $-1$ до $1$.

Итак, необходимо решить неравенство:

$$-1 \leq 5 — 2x \leq 1$$

Решаем неравенство $5 — 2x \geq -1$:

$$5 — 2x \geq -1$$ $$-2x \geq -6$$ $$x \leq 3$$

Решаем неравенство $5 — 2x \leq 1$:

$$5 — 2x \leq 1$$ $$-2x \leq -4$$ $$x \geq 2$$

Теперь соединяем оба неравенства:

$$2 \leq x \leq 3$$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) $y = \arcsin \frac{x}{2}$

Здесь мы рассматриваем арксинус от выражения $\frac{x}{2}$. Чтобы функция была определена, аргумент арксинуса должен лежать в интервале от $-1$ до $1$. Таким образом, нужно решить неравенство:

$$-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1$$

Решаем неравенство $\frac{x}{2} \geq -1$:

$$\frac{x}{2} \geq -1$$ $$x \geq -2$$

Решаем неравенство $\frac{x}{2} \leq 1$:

$$\frac{x}{2} \leq 1$$ $$x \leq 2$$

Теперь объединяем оба неравенства:

$$-2 \leq x \leq 2$$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $y = \arcsin(x^2 — 3)$

В данном случае необходимо найти область определения функции, где аргумент арксинуса $x^2 — 3$ будет лежать в интервале от $-1$ до $1$. Это условие можно записать как:

$$-1 \leq x^2 — 3 \leq 1$$

Решаем неравенство $x^2 — 3 \geq -1$:

$$x^2 — 3 \geq -1$$ $$x^2 \geq 2$$ $$x \geq \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x \leq -\sqrt{2}$$

Решаем неравенство $x^2 — 3 \leq 1$:

$$x^2 — 3 \leq 1$$ $$x^2 \leq 4$$ $$-2 \leq x \leq 2$$

Теперь объединяем оба условия:

• $x^2 \geq 2$ даёт $x \geq \sqrt{2}$ или $x \leq -\sqrt{2}$.
• $x^2 \leq 4$ даёт $-2 \leq x \leq 2$.

Таким образом, область определения функции состоит из двух интервалов: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.